英雄哥《零基础算法》1/100之 “幂和对数”

本学习笔记是根据《算法零基础100讲》进行的每讲总结，目标是采用刻意练习的方法对个人的学习和思考进行总结和归纳，方便复习和进一步深入理解和掌握内化。
每一讲的笔记内容大致分为三个部分：

1. 设问，通过这一讲的学习应该理解什么内容？
2. 题目，在学习完每讲内容后对题目先进行独立的思考和分析，记录下来；
3. 题解报告，通过个人思考和学习其他优秀解题方案，记录个人认为较为优秀的解答并进行画图理解和内化吸收，并分析如何优化自己的思考；
4. 知识点笔记，将本讲内容的知识点进行汇总和扩展，方便日后查阅复习；
5. 解题模板，尽量将所学代码进行通用化处理。
   另外：
   笔记中会尽量用图示的方式将所学内容进行可视化，方便记忆和内化，以及帮助读者进行理解。
   笔记至少会参考5篇以上的参考资料，并在文尾列出。

第一讲：幂和对数

一、设问

1. C语言关于幂和对数的库函数是哪些？使用的注意点有哪些？
2. 幂和对数有何关系？对数思想的用处是什么？
3. 整数在计算机中是如何存储的？
4. 如何通过位运算和mask准确把握整数的二进制位是否为1？
5. C语言中如何存储浮点数？
6. C语言的+ - * / 会对精度有何影响？其时间复杂度又如何？
7. 如何实现高精度运算？

二、题目

2的幂

3的幂

4的幂

这三道题都可以使用一样的思路即可解决：即判断对数和幂是否相等
同时还可以将数一直除以底，看最终的值是否为1

三、题解报告

bool isPowerOfx(int n, int base){
    if (n < 1) {
        return false;
    }
    
	int exp = (int)(log2(n)/log2(base) + 1e-8);
    if (n == (int)pow(base, exp)) {
        return true;
    }

    return false;
}

bool isPowerOfx(int n, int base){
    if (n < 1) {
        return false;
    }
    
	while (n % base == 0) {
        n /= base;
    }

    return n == 1;
}

通用思路1：使用C库函数求得log值和幂值，然后判断是否相等。计算exp时 + 1e-8 是为了防止精度损失
通用思路2：一直除以base，直到无法整除，最终结果是否为1.

bool isPowerOfFour(int n){
    if (n < 1) {
        return false;
    }

    if ((n & (n - 1)) == 0) {
        for (int i = 4; i <= n; i<<=2) {
            printf("%d ", i);
            if (i & n) {
                return true;
            }
        }
    }

    return n == 1;
}

bool isPowerOfFour(int n){
    if (n < 1) {
        return false;
    }

    return (((n & (n - 1)) == 0 
        && (n & 0xaaaaaaaa) == 0));
}

bool isPowerOfFour(int n){
    return n > 0 && (n & (n - 1)) == 0 && n % 3 == 1;
}

4的幂在二进制表达中，只有一个1在某奇数位上。

n & (n - 1)可以确定是否为偶数/2的幂。
0xaaaaaaaa = (10101010101010101010101010101010) ，
是构造的每个奇数位均为0的mask，通过&上他，可以使奇数位上1变为0，因此与是2的幂组合起来可以判断是否为4的幂。
4的幂 %3 一定为1.

四、知识点笔记

“在计算机科学中，除非有特别的声明，所有的对数都是以2为底”

$$\begin{gathered} n^m=\underset{m个}{n\ast n\ast ...\ast n} \\ {n}^{\frac{a}{b}}=\sqrt[b]{a} \\ -------- \\ lo{g}_{n}T=m(ifT=n^m) \\ -------- \\ {X}^a{X}^b=X^{a+b} \\ \frac{X^a}{X^b}=X^{a-b} \\ (X^a{)}^b=X^{ab} \\ {X}^n+X^n=2X^n\ne X^{2n} \\ {2}^n+2^n=2^{n+1} \\ ----------- \\ lo{g}_{B}A=\frac{lo{g}_{n}A}{lo{g}_{n}B};C>0 \\ logAB=logA+logB \\ logA/B=logA-logB \\ log(A^B)=BlogA \\ logx<x \\ ------------- \\ log1=0,log2=1,log1024=10,log1048476=20 \end{gathered}$$

• pow(base, exp)

  • double pow (double base, double exponent);

  • /* pow example */
    #include       /* printf */
    #include        /* pow */
    
    int main ()
    {
      printf ("7 ^ 3 = %f\n", pow (7.0, 3.0) );
      printf ("4.73 ^ 12 = %f\n", pow (4.73, 12.0) );
      printf ("32.01 ^ 1.54 = %f\n", pow (32.01, 1.54) );
      return 0;
    }
    

• log2(x)

  • double log (double x);

  • /* log example */
    #include       /* printf */
    #include        /* log */
    
    int main ()
    {
      double param, result;
      param = 5.5;
      result = log (param);
      printf ("log(%f) = %f\n", param, result );
      return 0;
    }
    

• log10(x)

  • double log10 (double x);

  • /* log10 example */
    #include       /* printf */
    #include        /* log10 */
    
    int main ()
    {
      double param, result;
      param = 1000.0;
      result = log10 (param);
      printf ("log10(%f) = %f\n", param, result );
      return 0;
    }
    

1. 对数（英语：logarithm）是幂运算的逆运算
   
2. 对数思想简史：
   
3. 计算机中使用幂和对数的概念存储数据（二进制数）
   
4. C库函数中的pow、log2和log10函数的运行结果均为double类型，float类型的有效小数位为6位（第7位会受四舍五入的影响），double类型的有效小数位为15位（第16位受四舍五入的影响）
5. 浮点数的存储方式为S-E-M, 即$(-1{)}^S\ast M\ast 2^E$，S为符号位，M为有效数字，E为指数为，使用科学计数法的方式进行存储。
   
6. 对浮点数进行的操作越多，损失的精度就越大
7. 位运算符的优先级低于逻辑运算符，如：&的优先级低于==

《算法零基础100讲》介绍

该栏目是CSDN@英雄哪里出来大佬的万人千题计划第一阶段，其目标是让想要学会算法的人抱团成长，能通过这个项目稳步成长，扎扎实实掌握算法，最终用算法改变世界！

大佬将算法学习的路线总结如下，并分别根据五步路线总结写出了相应的教学内容，关于目前的第一阶段算法入门的详细的介绍可以看博文《万人千题：第一阶段，算法零基础抱团打卡》学习路线指引

100讲的学习大纲如下：

参考资料

此处列出除文中链接之外的参考资料

1. 《数据结构与算法分析：C语言描述》
2. cplusplus.com
3. 对数-维基百科
4. 二进制对数-百科全书
5. 对数，指数,logN，时间复杂度
6. 计算机是如何存储数据的？
7. C语言除法算法和取模运算的实现（多种算法，多种思路）
8. 计算机是如何存储小数的？在C语言编程中，应该注意什么吗？
9. C语言高效编程与代码优化
10. 计算机是如何储存人类所认知的数据呢？C语言数据的储存
11. LeetCode官方题解