核心素养——运算能力

小学阶段核心素养的主要表现：运算能力

运算是数学的基本研究对象，也是数学的一种基本思维形式。《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订）》明确提出：数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养。主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等。通过提高运算能力，可以促进学生数学思维发展，使学生形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神。

义务教育阶段的运算能力主要涉及三个问题：一是“如何算”，即对算法与运算程序的运用，表现为运算的熟练性；二是“为什么可以这样算”，即对算理的理解，表现为运算的合理性；三是“怎样算得更好”，即对算法的优化，表现为运算的灵活性。

运算能力是核心素养在小学阶段唯一作为“能力”要求的行为表现，主要包括以下4个方面。

l. 能够根据运算律、运算法则和运算程序熟练地进行数的四则运算。具备简单数字的心算能力。能够熟练地进行自然数的纸笔四则运算：在横式运算中，能够熟练地运用运算律对运算过程进行重组和化简，得到不同的算法；在竖式计算中，能够熟练地依据运算法则进行程序化的操作，并对运算结果进行检验。能够熟练地运用分数的运算法则进行简单的分数运算，能够熟练地运用小数点的运算规律把小数运算转化为自然数的运算；能够运用估算策略对运算结果进行估计，并在实际情形中进行近似计算。

2. 理解运算对象、运算律与算法之间的关系，感悟运算的一致性。理解运算律是数运算的自然规律，通过具体的计数活动和日常经验感悟运算律的形成过程；理解运算律是形成各种运算法则的依据，能灵活运用运算律进行运算；理解运算单位的意义，感悟运算的一致性；理解不同运算之间的关系。

3. 能够通过运算解决数学问题和简单的实际问题。例如：能在实际情境中发现数量信息，明确运算的问题与目标，理解与解释运算结果的意义与合理性；能根据实际需求合理选择适当的计算工具、方法与策略，正确、自信和恰当地利用运算获得结果；懂得心算、笔算、计算器和计算机的优势与缺点，并能利用各种策略缩减计算过程、优化计算方法、检验计算步骤、估计运算结果等。

4. 能够通过运算探究、发现简单的数量关系与规律。主要包括：通过具体自然数的运算归纳出数的一些特殊性质，如“偶数十偶数”还是偶数；通过运算发现一些简单的数量变化规律，如可以把 24 拆成两个自然数的和，这两个数越接近，它们的乘积就越大；知道通过加减法与乘除法都可以把一个数变大或变小，但变化的“幅度”有所不同， 如60-2与60÷2都把60变小了，但后者变小的“幅度”要大得多。

数学运算作为数学学习的一种基本功，是义务教育阶段的一个基本目标，进行一定量的训练自然是必要的，但如果训练量过大，或者对学生的运算速度和准确性提出过高要求，反而不利于学生对数学的理解与核心素养的发展。因此，要提高运算教学的有效性与效率。要提高运算教学的有效性，除了提倡精致化练习外，理解算理和运算的一致性是一个关键。

首先，可以通过计数活动，帮助学生在直觉经验的基础上形成自然数的运算律。按照F.克莱因的观点，一切初等运算都依赖于如表5-2所示的自然数的11条运算律。因此，在小学自然数的运算教学中，应该通过具体的计数活动，借助日常经验帮助学生直观地认识这些运算律。其中的日常经验主要是皮亚杰所说的 三个具有一般意义的观念：分类、顺序与守恒。按照皮亚杰的观点，学龄前儿童就可以初步具备这三个观念。

表5-2 自然数的11 条运算律

加法

乘法

（1）封闭性：a+b的结果是一个自然数

（2）单值性：a+b的值是唯一的

（3）结合律：（a+b）+c=a+（b+c）

（4）交换律：a+b=b+a

（5）单调律：若b＞c，则a+b＞a+c

（1）封闭性：ab的结果是一个自然数

（2）单值性：ab的值是唯一的

（3）结合律：（ab）c=a（bc）

（4）交换律：ab=ba

（5）单调律：若a＞0，b＞c，则ab＞ac

分配律：a（b+c）=ab+ac

其次， 将自然数的运算律推广到分数、小数及简单字母符号的运算，使学生能够利用运算律形成、解释和理解各种算法。在这个过程中，学生一方面可以体会运算律的意义和作用，另一方面可以解释算法的合理性与一致性。

最后，帮助学生理解运算单位的意义，知道运算单位是建立各种运算法则的基础。例如，帮助学生理解进行竖式加减运算时为什么要求“数位对齐”，异分母分数加减时为什么要先“通分”等。

此外，还可以引导学生利用各种运算之间的关系理解运算的一致性。例如：乘法是几个相同数连加的简便计算；除法是乘法的逆运算，因此乘一个数可以看作除以这个数的倒数。对运算之间关系的理解有助于学生从不同的角度处理运算问题，提高运算的灵活性