带通信号的表示

假设一个带通的时域信号为s_p(t)，其时域表达为
s_p(t)=\operatorname{Re}\{s(t)e^{2\pi f_ct}\}
其中，s(t)=s_r(t)+js_i(t)\)是复数基带信号，s_r(t))和s_i(t)\)分别是实部和虚部，f_c)是载波频率。
根据欧拉公式
e^{jx}=\cos x+j\sin x
可以得到
\begin{aligned} s_p(t)&=\operatorname{Re}\{(s_r(t)+js_i(t))(\cos2\pi f_ct+j\sin2\pi f_ct)\} \\ &=\operatorname{Re}\{(s_r(t)\cos2\pi f_ct-s_i(t)\sin2\pi f_ct) + j(s_i(t)\cos2\pi f_ct+s_r(t)\sin2\pi f_ct)\} \\ &=s_r(t)\cos2\pi f_ct-s_i(t)\sin2\pi f_ct \end{aligned}
由此可知，带通的时域信号是基带信号的实部被\cos载波调制加上基带的虚部被\sin载波调制的叠加，即如下图所示（具体符号表示有所不同）。

1.png

从上图中可知，将基带信号用相互正交（\cos和\sin）的载波（相位相差90度，幅度也可以不同）调制，就是我们常说的QAM。