正态分布2018-04-17

正态分布

上述分布都是离散概率分布，当随机变量是连续型时，情况就完全不一样了。因为离散概率的本质是求x取某个特定值的概率，而连续随机变量不行，它的取值是可以无限分割的，它取某个值时概率近似于0。连续变量是随机变量在某个区间内取值的概率，此时的概率函数叫做概率密度函数。

正态概率分布是连续型随机变量中最重要的分布。世界上绝大部分的分布都属于正态分布，人的身高体重、考试成绩、降雨量等都近似服从。

正态分布如同一条钟形曲线。中间高，两边低，左右对称。想象身高体重、考试成绩，是否都呈现这一类分布态势：大部分数据集中在某处，小部分往两端倾斜。

正态概率密度函数为：

是不是看得头晕了？u代表均值，σ代表标准差，两者不同的取值将会造成不同形状的正态分布。均值表示正态分布的左右偏移，标准差决定曲线的宽度和平坦，标准差越大曲线越平坦。

以前介绍过一个正态分布的经验法则：

正态随机变量有69.3%的值在均值加减一个标准差的范围内，95.4%的值在两个标准差内，99.7%的值在三个标准差内。这条经验法则可以帮助我们快速计算数据的大体分布。

均值u=0，标准差σ=1的正态分布叫做标准正态分布。它的随机变量用z表示，它是推断统计的基础。将均值和标准差代入正态概率密度函数，得到一个简化的公式：

现在可以用简化的公式计算概率密度了。首先学习一个新的函数叫累计分布函数，它是概率密度函数的积分。用P(X<=x)表示随机变量小于或者等于某个数值的概率，F(x) = P(X<=x)。

曲线就是概率密度函数，当x取某个值时，曲线上f(x)点的数值即表示随机变量在对应的x点值的取值概率，曲线与X轴相交的阴影面积就是累计分布函数。我们不妨把概率密度函数按其名字简单理解成「密度」，毕竟连续变量只有在区间中才有计算的意义，于是密度函数充当了辅助计算的角色。分析中我们更多实用累计分布函数。

标准正态分布中，给定一个值z，可以计算随机变量z小于等于某一个值的概率；z在两个值之间的概率；以及z大于等于一个值的概率。这三种计算都用到累计分布函数，分别记作P(z<=x)，P(x1<=z<=x2)，P(z>=x)。

首先计算z小于等于1的概率，即P(z<=1)。由excel 的函数NORM.DIST(1,0,1,TRUE)求得值为0.8413。于是P(z<=1)=0.8413。同理，P(z>1) = 1-P(z<=1) = 0.1586。

若要计算z在区间-1～1.25的概率，即P(-1<=z<=1.25)。可以将其拆解为公式：P(-1<=z<=1.25) = P(z<=1.25) - P(z<=-1) = 0.735。

如果大家在公式转换中有困惑，不妨结合上面的阴影图看。靠左的阴影即z小于等于0.8时(目测)的概率，如果我们要算0～0.8之间的概率呢？就是把z<=0的那一半给挖掉，非常粗暴的算法。

到了这里大家可能发觉，在正态分布的计算中，不论求哪一类区间，我们都是先转换成z小于等于某个值先计算。这是一个潜移默化的规则，因为早期正态概率的计算都要用到标准正态概率表，它以z小于等于作查询标准。现在虽然计算资源已经大大丰富，但是这个习惯还是保留了下来。

之所以强调标准正态分布，是因为所有的正态分布概率都可以利用标准正态分布计算。当我们具有一个任意均值的u和标准差σ，都能将其转换成标准状态分布。

现在有一个u=10和σ=2的正态随机变量，求x在10与14之间的概率是多少？

当x=10时，z=(10-10)/2=2。当x=14时，z=(14-10)/2=2。于是x在10和14之间的概率等价于标准正态分布中0和2之间的概率。计算P(0<=z<=2) =P(z<=2) - P(z<=0) =0.4772。

现在是最后一个运营活动了，不再是抽奖，而是最终赠送奖品的环节。已知奖品的保质期满足正态分布，均值90天，标准差5天。为了考虑用户体验，想知道奖品70天以内就坏的概率是多少？

当x=70时，有z=(70-90)/5 = -4。p(z<=-4)=0.003%。概率非常小，可以忽略不计，所以产品质量杠杠的。经历了那么多活动，老板终于可以松一口气了。

在概率分布中还有一个概念叫正态近似。当试验次数很大时，二项分布可以近似于正态分布，泊松分布也有相似的情况，大家有兴趣可以去了解，这是一种简便方法，不过工作中现在都是计算机了，这点反而不重要了。

了解完各类分布后，我们将进入最后的环节，假设检验，它是基于概率的理论，数据分析中的AB测试，就是其最常见的应用。