第十四届蓝桥杯三月真题刷题训练——第 7 天

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第 1 题：三角回文数

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第 2 题：数数

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第 3 题：倍数问题_同余定理_分情况讨论

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第 1 题：三角回文数

问题描述

对于正整数 n, 如果存在正整数 k 使得 n=1+2+3+⋯+k=k(k+1)/2​, 则 n 称为三角数。例如, 66066 是一个三角数, 因为 66066=1+2+3+⋯+363 。

如果一个整数从左到右读出所有数位上的数字, 与从右到左读出所有数位 上的数字是一样的, 则称这个数为回文数。例如, 66066 是一个回文数, 8778 也是一个回文数。

如果一个整数 n 既是三角数又是回文数, 我们称它为三角回文数。例如 66066 是三角回文数。

请问, 第一个大于 20220514 的三角回文数是多少?

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这是一道结果填空的题, 你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一 个整数, 在提交答案时只填写这个整数, 填写多余的内容将无法得分。

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package 第十四届蓝桥杯三月真题刷题训练;

import java.io.BufferedReader;
import java.io.InputStreamReader;
import java.io.PrintWriter;
import java.io.StreamTokenizer;

/**
 * @author yx
 * @date 2023-03-10 8:28
 */
public class day7 {
    static BufferedReader ins = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
    static StreamTokenizer in = new StreamTokenizer(ins);
    static PrintWriter out= new PrintWriter(System.out);

    public static void main(String[] args) {
        for (int i = 20220515 ; ; i++) {
            if(isHuiWen(i)&&isSanJ(i)){
                System.out.println(i);
                return;
            }
        }
    }
    static boolean isHuiWen(int n){
        char[] arr=(n+"").toCharArray();
        int l=0;
        int r=arr.length-1;
        while (l<=r){
            if(arr[l]!=arr[r]){
                return false;
            }
            l++;
            r--;
        }
        return true;
    }

    static boolean isSanJ(int n){
//        (k)*(k+1)=2n
//        直接取(k+1)*(k+1)=2n的k,能减少很多时间
        int k=(int) Math.sqrt(2*n)-1;
        while (k*(k+1)<=n*2){
            if(k*(k+1)==n*2){
                return true;
            }
            k++;
        }
        return false;
    }


}

第 2 题：数数

问题描述

任何一个大于 1 的正整数都能被分解为若干个质数相乘, 比如 28=2×2×7 被分解为了三个质数相乘。请问在区间 [2333333, 23333333] 中有多少个正整数 可以被分解为 12 个质数相乘?

答案提交

这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一 个整数, 在提交答案时只填写这个整数, 填写多余的内容将无法得分。

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代码：

package 第十四届蓝桥杯三月真题刷题训练.day7;

import java.util.ArrayList;

/**
 * @author yx
 * @date 2023-03-10 8:48
 */
public class 数数 {
    public static void main(String[] args) {
        int ans=0;
        for (int i = 2333333; i <= 23333333 ; i++) {
//            System.out.println(i);
            if(check(i)){
                ans++;
            }
        }
        System.out.println(ans);
    }
    static boolean check(int n){
        int ans=0;
        //只需要到sqrt(n)即可，因为如果有一个因数大于等于sqrt(n)
        // 那么必定有一个因数小于等于sqrt(n)
        for (int i = 2; i*i <= n ; i++) {
            while (n%i==0){
                /*
                此时的i是从2开始的,n除掉的一定是质数，并且先从最小的质数开始除
                如果有非质数因子k，那么该数的因子一定存在小于sqrt(k)的最小因子数j
                这个j如果是质数，那么一定会在前面被当作除数除掉
                从而保证了每一个因子都是质数，非质数的会被分解成质数因子给除掉
                 */
                n/=i;
                //更新数据
                ans++;
            }
        }
        /*
            比如最后的n为5的时候,n%i!=0
            但是5也是这里面的一个质数
            所以这个质因子5不能漏掉
             */
        if(n>1)ans++;
        if(ans==12){
            return true;
        }
        return false;
    }
}

  分解并存储每一个不重复（set去重）的质因数的代码：

第 3 题：倍数问题_同余定理_分情况讨论

题目描述

众所周知，小葱同学擅长计算，尤其擅长计算一个数是否是另外一个数的倍数。但小葱只擅长两个数的情况，当有很多个数之后就会比较苦恼。现在小葱给了你 n 个数，希望你从这 n 个数中找到三个数，使得这三个数的和是 K 的倍数，且这个和最大。数据保证一定有解。

输入描述

第一行包括 2 个正整数 n, K。

第二行 nn 个正整数，代表给定的 n 个数。

其中，1≤n ≤10^5, 1≤K ≤10^3，给定的 n 个数均不超过 10^8。

输出描述

输出一行一个整数代表所求的和。

输入输出样例

示例

输入

4 3
1 2 3 4

输出

9

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代码：

解析全在代码注释里，详细到每一行代码！！！！

 package 第十四届蓝桥杯三月真题刷题训练.day7;

import java.io.*;
import java.util.Arrays;
import java.util.Scanner;

/**
 * @author yx
 * @date 2023-03-10 10:16
 */
public class 倍数问题 {
    static PrintWriter out =new PrintWriter(System.out);
    static BufferedReader ins=new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
    static StreamTokenizer in=new StreamTokenizer(ins);
    /**
     * 输入
     * in.nextToken()
     * int a= (int)in.nval;
     *
     * 输出
     * out.print();
     * out.flush();
     */
    public static void main(String[] args) throws IOException {
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
        int n=scanner.nextInt();
        int k=scanner.nextInt();
        int[][] nums=new int[k][3];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            //因为需要三个数字，因此只需要维护每个余数对应的前三大的数即可
            int temp=scanner.nextInt();
            int yuShu=temp%k;
            //一定要保证降序排序这样有利于我们取大的数，即nums[yuShu][0]>nums[yuShu][1]>nums[yuShu][2]
            if(temp>nums[yuShu][0]){
                //如果temp比nums[yuShu][0]还大，那么temp就是nums[yuShu][0]
                //原来的nums[yuShu][0]变成第二大,原来的nums[yuShu][1]变成第三大
                //原来的nums[yuShu][2]被舍弃
                nums[yuShu][2]=nums[yuShu][1];
                nums[yuShu][1]=nums[yuShu][0];
                nums[yuShu][0]=temp;
            }else if(temp>nums[yuShu][1]){
                //如果此时的temp不是最大的，但是比nums[yuShu][1]大
                //那么原来的nums[yuShu][0]还是最大的
                //temp变成第二大的，即temp=nums[yuShu][1]
                //原来的nums[yuShu][1]就变成第三大的了
                //原来的nums[yuShu][2]被舍弃
                nums[yuShu][2]=nums[yuShu][1];
                nums[yuShu][1]=temp;
            }else if(temp>nums[yuShu][2]){
                //此时的temp小于前两大的数，大于nums[yuShu][2]
                //那么temp就代替nums[yuShu][2]
                //原来的nums[yuShu][2]被淘汰
                nums[yuShu][2]=temp;
            }
        }

        int x1,x2,x3;
        int ans=0;
        for (int i = 0; i < k; i++) {//遍历余数
            x1=nums[i][0];
            if(nums[i][0]!=0){
                for (int j = i; j < k ; j++) {
                    if(j==i){//若x1,x2余数相同都为i,则x2取余数i对应的第二大的数
                        x2=nums[j][1];
                    }else {//x1,x2余数不同的情况，x2取余数j对应的最大的数
                        x2=nums[j][0];
                    }
                    if(x2!=0){//余数为j，对应的数字存在的情况，找第三个余数z对应的数字
                        int z=(k-(i+j)%k)%k;//这个自己手写一些即可，不懂的地方评论区或私信问
                        if(i!=j){//余数i和余数j不相同
                            if(z==i){//x3和x1对应的余数相同，那么x3就取余数i对应的第二大的数
                                x3=nums[i][1];
                            }else if(z==j){//x3和x2对应的余数相同，那么x3就取余数j对应的第二大的数
                                x3=nums[j][1];
                            }else {//x3的余数既不等于i也不等于j的情况，那么x3就取余数z对应的最大的数
                                x3=nums[z][0];
                            }
                        }else {//x1和x2余数相同的情况
                            if(z==i){//x1和x2和x3余数相同的情况,x3取余数为i的第三大的数
                                x3=nums[i][2];
                            }else {//x3和x1和x2余数不同，那么x3取余数为z对应的最大的数字
                                x3=nums[z][0];
                            }
                        }
                        if(x3!=0){//余数为z且对应的数字存在的情况
                            ans=Math.max(ans,(x1+x2+x3));
                        }
                    }
                }
            }
        }
        System.out.println(ans);
    }
}