【数学】用C语言实现函数的定积分—— 把 “定积分定义计算出的值” 和 “牛顿-莱布尼兹公式计算出的值” 两者进行误差比较

因为考研数学看到定积分的定义以及“牛顿-莱布尼兹公式”

突然心血来潮，想用C语言把它们实现出来并对比。

1.用 ”定积分定义“ 计算得出数值 以及 ”牛顿-莱布尼兹公式“ (微积分基本定理)计算得出数值 的差异。

2.用 "定积分定义" 积分，”分段点“数量越多趋向于无穷个时

   ——即n越大，趋向于无穷的时候，用 "定积分定义" 积出来的数值，会越接近积分范围内图形的真实面积。

   (默认用微积分基本定理得出的面积是真实的，微积分基本定理 由 微分中值定理 严谨证明得出。)

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一、公式说明

定积分定义：

将[a,b]区间段，分为n份区间，那么就有n-1个分段点。

1. 每份区间长度为：                                       ——        共有n份

2. 分段点集合：                                  

3. 各个相邻分段点之间的数值关系：  

4. 每一份区间上的面积 ：               

5. 最终，定积分的定义：                   

   或者：                                             

   (我们要用这个来写程序表示用定积分定义求积分)

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牛顿-莱布尼兹公式（微积分基本定理）：

 

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二、理论转化成代码

以  为例（因为朋友问我这一题解法）：

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1. 用 牛顿-莱布尼兹公式 进行求解 

先必须先求出原函数，再代入a和b。

过程：1.拆分分母、2.分别各自求解原函数、3.分别代入上下限a与b计算，最终求得 f(x) 在 x∈[a，b] 上的积分。

所以 S = F(a) - F(b)

所以用牛顿-莱布尼兹公式求解函数的代码可以写成：

#include
#include

using namespace std;

//F(x)：由f(x)用不定积分推导出
double F(double x){
    //x^2写法不行，要用x*x
	return (log(x) - log(1.000 + x*x)/2);
}	

//调用求面积，以在区间[2，6]积分为例, (double)s为得出的面积
int main(){
    double s = F(6) - F(2);
    cout<

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2. 用 定积分定义 进行求解 

手算算不了算这么多次，而计算机可以帮助做大量的运算。

（题外话：通常纸上计算不会用这种方法，在考试里面一般只会作为一个选择题考大家对 定积分定义 的熟悉度）

变量设定：

我们计算时，忽略，将n作为一个参数，类型为int。

n可以自由设定数值，不过n越大，算出来面积越接近真实值。

：     一个循环，从i = 1到 i = n，设一个变量i，类型为int。

a 和 b： 设置为两个变量，类型为int。

：  出现2次，把这个赋予一个变量c，使，变量c类型为double。

s1：      用来存放计算出的面积的值，类型为double。

函数指针：

pA：作为指向函数的指针（称为函数指针），若使用"定积分定义"(函数S)，在参数列表。

传入参数为 ”pA=函数g(x)“，那在函数S内调用pA的过程中，就会指向调用g(x)函数。

若传入参数为"pA=函数f(x)"，则在S内调用pA的过程中，就会指向调用f(x)函数。

（用函数指针好处就是：函数S内即将调用的"函数"不用写死，即将调用的“函数”可以作为参数传入）

#include

using namespace std;

//f(x)函数
double f(double x){
    return 1/(x*(1+x*x));
} 

//参数1. n：将区间a到b分成n份，当n越大，趋于正无穷时，求出的数值越接近真实面积

//参数2、3. a、b：分别为积分下、上限，积分区间是从小到大：a到b

//参数4. pA：使用 函数指针 传入函数
//使用函数指针，可以在 "这个函数S(...)" 的参数列表传入 "想要使用的函数" 的首地址
//在 "这个函数" 里面调用pA(...)就相当于调用在参数里面传入的 "想要使用的函数"

double S(int n, double b, double a, double (*pA)(double)){
    //int n=1000; //将b-a分成n份
    double c = (b-a)/n; //每份是(b-a)/n
    double s1 = 0.0; //存放面积累加值 

    //循环计算矩形面积近似曲边梯形面积
    //pA(a+i*c)*c 代表 f(xi)*Δx
    for(long i = 1; i < n; i++){
        //pA(传入double类型参数) = f(A)
        s1 += pA(a+i*c)*c;
    }
    
    return s1;
}

void main(){
    //表示用定积分定义求函数f(x)，在x∈[2，6]的面积
    //将[2，6]区间分成10000份，可以尝试设置更大的值，精度会更高
    //“f”表示调用函数f(x)
    cout<

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三、"牛顿-莱布尼兹公式" 和 "定积分定义" 分别求出的数值对比

上完整代码： 

#include 
#include 
using namespace std;

double F(double x);
double f(double x);
double a(float n, double b, double a, double (*pA)(double));

//F(x)
double F(double x){
    //x^2写法不行，要用x*x
    return (log(x) - log(1.000 + x*x)/2);
}	

//f(x)函数
double f(double x){
    return 1/(x*(1+x*x));
} 

//积分区间是从小到大：a到b
//使用 函数指针 传入函数
double s(int n, double b, double a, double (*pA)(double)){
    //int n = 1000; //将b-a分成n份
    double c = (b-a)/n; //每份是(b-a)/n
    double s1 = 0.0; //存放面积累加值 

    //循环计算矩形面积近似曲边梯形面积
    for(long i = 1; i < n; i++){
        s1 += pA(a+i*c)*c;
    }
    
    return s1;
}


int main () {
    //求f(x) = 1/x(1+x^2) 在x属于[1,2]的面积/积分

    //1.用牛顿-莱布尼兹公式
    //F(x) = lnx - ln(1+x^2);
    cout.setf(ios::fixed);
    cout.precision(12);
    double a1 = F(6) - F(2);
    cout << "牛顿-莱布尼兹公式求得："<< F(6) - F(2) <

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结果如图：

可以看出，用定积分定义求面积，当n越大时，误差越小。