【蓝桥杯集训·每日一题】AcWing 3728. 城市通电

一、题目

1、原题链接

3728. 城市通电

2、题目描述

平面上遍布着 n 座城市，编号 1∼n。

第 i 座城市的位置坐标为 (xi,yi)。

不同城市的位置有可能重合。

现在要通过建立发电站和搭建电线的方式给每座城市都通电。

一个城市如果建有发电站，或者通过电线直接或间接的与建有发电站的城市保持连通，则该城市通电。

在城市 i 建立发电站的花费为 ci 元。

在城市 i 与城市 j 之间搭建电线所需的花费为每单位长度 ki+kj 元。

电线只能沿上下左右四个方向延伸，电线之间可以相互交叉，电线都是双向的。

每根电线都是由某个城市沿最短路线搭建到另一个城市。

也就是说，如果在城市 i 与城市 j 之间搭建电线，则电线的长度为 |xi−xj|+|yi−yj|。

请问，如何合理设计通电方案，可以使得所有城市都成功通电，且花费最少？

输出最少花费和具体方案。

如果方案不唯一，则输出任意一种合理方案均可。

输入格式

第一行包含整数 n。

接下来 n 行，其中第 i 行包含两个整数 xi,yi，用来描述城市 i 的横纵坐标。

再一行包含 n 个整数 c1,c2,…,cn，用来描述每个城市建立发电站的花费。

最后一行包含 n 个整数 k1,k2,…,kn。

输出格式

第一行输出所需要的最少花费。

第二行输出一个整数 v，表示需要建立发电站的数量。

第三行输出 v 个整数，表示建立发电站的城市编号，注意输出编号要在范围 [1,n] 内。且输出编号不应重复。输出编号顺序随意。

第四行输出一个整数 e，表示需要搭建的电线数量。

接下来 e 行，每行输出两个整数 a,b，表示要在城市 a 和 b
之间搭建电线。注意，任意两个城市之间最多只需要搭建一根电线，也就是说，对于每个 (a,b)，不要有多余的 (a,b) 或 (b,a)
输出。a 和 b 不能相同，且要在范围 [1,n] 内。输出电线顺序随意。

如果答案不唯一，输出任意合理方案即可。

数据范围

对于前三个测试点，1≤n≤3。
对于全部测试点，1≤n≤2000，1≤xi,yi≤10⁶，1≤ci,ki≤10⁹。

输入样例1：

3
2 3
1 1
3 2
3 2 3
3 2 3

输出样例1：

8
3
1 2 3 
0

输入样例2：

3
2 1
1 2
3 3
23 2 23
3 2 3

输出样例2：

27
1
2 
2
1 2
2 3

二、解题报告

1、思路分析

思路来源：y总讲解视频
y总yyds

（1）建立一个虚拟源点，由虚拟源点向每个建有发电站的城市连一条边，边权为建立该发电站的花费。
（2）这样就转化为了一个最小生成树问题，求包括虚拟源点在内的图的最小生成树。
（3）利用prim算法进行求解即可。

2、时间复杂度

时间复杂度为O(n²+m)

3、代码详解

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int,int> PII;
const int N=2010;
int n;
int c[N],k[N],fa[N]; //fa[]存储每个点的父结点，即建有发电站的城市
PII p[N];     //存储每个点的坐标，first为横坐标，second为纵坐标
LL dist[N];   //存储每个点到当前连通块的距离
bool st[N];   //存储每个点是否已经在连通块中
vector<int> ans1;     //存储所有需要建发电站的城市
vector<PII> ans2;     //存储城市之间需要搭建电线的两个城市
//两点之间建设电线的花费
LL distance(int a,int b){    //注意类型，可能超过int范围
    int x=abs(p[a].first-p[b].first);
    int y=abs(p[a].second-p[b].second);
    return (LL)(x+y)*(k[a]+k[b]);
}
//prim算法求最小生成树
LL prim(){     //注意返回类型，可能超过int范围
    memset(dist,0x3f,sizeof dist);
    dist[0]=0;
    st[0]=true;
    LL res=0;
    //初始将0号点，虚拟源点已经加入连通块中，所以每个点到虚拟源点的距离（花费）为在该点建设发电站的花费
    for(int i=1;i<=n;i++) dist[i]=c[i];
    for(int i=0;i<n;i++){
        int t=-1;
        //每次寻找距离连通块的距离最小的点
        for(int j=1;j<=n;j++){
            if(!st[j]&&(t==-1||dist[j]<dist[t])) t=j;
        }
        res+=dist[t];
        st[t]=true;
        if(!fa[t]) ans1.push_back(t);     //如果t没有父结点，则说明需要在该点建立发电站，将其加入答案中
        else ans2.push_back({fa[t],t});   //否则，两点之间需要搭建电线
        //用t来更新其他点到连通块的距离
        for(int j=1;j<=n;j++){
            if(dist[j]>distance(j,t)){
               dist[j]=distance(j,t);
               fa[j]=t;
            } 
        }
    }
    return res;
}
int main(){
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>p[i].first>>p[i].second;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>c[i];
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>k[i];
    cout<<prim()<<endl;
    cout<<ans1.size()<<endl;
    for(int i=0;i<ans1.size();i++) cout<<ans1[i]<<' ';
    cout<<endl<<ans2.size()<<endl;
    for(int i=0;i<ans2.size();i++) cout<<ans2[i].first<<' '<<ans2[i].second<<endl;
    return 0;
}

三、知识风暴

Prim算法

• 基本思想：先将起始点加入连通块中，然后寻找距离连通块最近的顶点然后再加入，同时利用该点更新其他点距离连通块的距离，然后再将距离连通块最近的点加入，循环往复，直到将所有点加入，得出最小生成树，如果没有将所有点都加入说明不存在最小生成树。