「2」线性代数（期末复习）

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方阵的行列式

(1)    ｜A^T｜=｜A｜

(2)    |A|=^n|A|

(3)    |AB|=|A||B|

(4)    |AB|=|BA|

伴随矩阵：A*=A^T

A*（A*）=（A*）*A=｜A｜E

逆矩阵：

定义7:对于n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B，使

AB=BA=E

则说明矩阵A是可逆的，并把矩阵B称为矩阵A的逆矩阵

A的逆矩阵记作A^-1，AB=BA=E，则B=A^-1

定理1： 若矩阵A可逆，则｜A｜不等于0

定理2:    A^-1=（1/｜A｜）A*

推论：（1）若A可逆，则A^-1也是可逆，且

（A^-1）^-1=A

(2)若A，B为同阶矩阵且均可逆，则AB也是可逆的，且

（AB）^-1=(B^-1)(A^-1)

克拉默法则

（1）如果线性方程组的系数矩阵A的行列不等于0，那么方程组有唯一的解

矩阵分块（用的很少）

第三章

矩阵的初等变换与线性方程组

定义1:下面三种变换称为初等行变换

（1）对换两行（对换i，j两行，记作r[i]<->r[j]）

（2）以数k（k不等于0）乘某一行中的所有元素（第i行乘k，记作r[i]xk）

（3）把某一行所有元素的k倍加到另一行对应的元素上去（第j行的k倍加到第i行上，记作r[i]+kr[j]）

初等列变换，把初等行变换中的‘行’换成’列’

注意：矩阵是增广矩阵

如果矩阵A经有限次初等行变换变成矩阵B，就称矩阵A与B行等价，记作A～B

（1）A～A

（2）A～B，则B～A

（3）

定义2:

行阶梯形：

（1）非零矩阵满足非零行在零行的上面；非零行的首非零元素所在列在上一行（如果存在的话）的首非零元素所在列的右面，则称矩阵为行阶梯形矩阵

（2）行最简形：

非零行的首非零元素为1；首非零元素所在的列其他元素为零，则称为行最简形矩阵

利用初等行变换求逆矩阵

 

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