数据结构学习笔记之线段树

1. 定义

  线段树是一种二叉搜索树相似，它将一个区间划分成一些单元区间，每个单元区间对应线段树中的一个叶结点。对于线段树中的每一个非叶子节点[a,b]，它的左儿子表示的区间为[a,(a+b)/2]，右儿子表示的区间为[(a+b)/2+1,b]。因此线段树是平衡二叉树，最后的子节点数目为N，即整个线段区间的长度。

  比如在下图中，对于给定的长度为10 的数组，每个节点都保存的是一个区间内相应的信息，比如对于和的统计，根节点保存的就是整个数组中的元素的和，左子节点保存的是从 0 ~ 4 索引之间元素的和。

线段树

  对于某一类问题，我们关心的是线段（或者区间），我们就可以使用线段树。常见的问题有区间染色、区间查询等等，比如在上例中，我们想要知道数组索引从3~9的和，只需要将[4, 5]节点的值和[6, 10]节点的值相加即可，无需对数组进行遍历，所以线段树的查询时间复杂度为 O(logN)。同理线段树的更新操作的时间复杂度也为 O(logN)，当更新某一节点的值时，只需要更新该节点和其祖先节点对应的信息即可。
  在线段树中，我们是不考虑增加或者删除元素的，也就是在初始化线段树时，区间就已经固定了。线段树虽然不是完全二叉树，但是平衡二叉树，所以我们可以使用数组来进行表示。那么对于有N个元素的数组，我们应该初始化多长的数组来表示对应的线段树呢？答案是 4N。

原因

2. 基本使用
     我们使用求和为例创建线段树，首先我们先根据数据数组初始化线段树数组。

public class SegmentTree {
    private E[] data;
    private E[] tree;
    private Merge merge;
    public SegmentTree(E[] data, Merge merge){
        if(data == null) throw new IllegalArgumentException("");
        tree = (E[]) new Object[data.length * 4];
        this.data = data;
        this.merge = merge;
    }
}

  （1）构建线段树

构建线段树

    /**
     * @param treeindex 线段树节点对应的 tree 数组索引
     * @param left 当前节点表示的区间的左端点（也就是data数组的索引区间）
     * @param right 当前节点表示的区间的右端点
     * */
    private void buildTree(int treeindex, int left, int right){
         // 当区间范围为 1 时停止划分
         if(left == right){
             tree[treeindex] = data[left];
             return;
         }
         int midle = left + ( right - left )/2;
         int leftTreeIndex = getLeftChild(treeindex);
         int rightTreeIndex = getRightChild(treeindex);
         // 分裂区间，构建左线段树
         buildTree(leftTreeIndex, left, midle);
         // 分裂区间， 构建右线段树
         buildTree(rightTreeIndex, midle + 1, right);

         // 将线段树左右端点的结构合并
         tree[treeindex] = merge.merge(tree[leftTreeIndex], tree[rightTreeIndex]);
    }

  （2）查询区间统计信息

查找

    /**
     * @param treeIndex 线段树的节点表示的索引
     * @param tl 该节点所表示区间的左端点
     * @param tr 该节点所表示区间的右端点
     * @param ql 要查询的区间的左端点
     * @param qr 要查询的区间的右端点
     * */
    private E query(int treeIndex, int tl,int tr, int ql, int qr){
        if(tl == ql && tr == qr) return tree[treeIndex];

        int midle = tl + ( tr - tl )/ 2;
        if(qr <= midle) return query(getLeftChild(treeIndex), tl, midle, ql, qr);
        if(ql > midle) return query(getRightChild(treeIndex), midle + 1, tr, ql, qr);
        return merge.merge(query(getLeftChild(treeIndex), tl, midle, ql, midle),
                query(getRightChild(treeIndex), midle + 1, tr, midle + 1, qr));
    }

  （3）更新线段树
  更新线段树比较简单，就是根据递归寻找当前更新的数据的索引对应的区间，直到找到对应叶子节点，然后重新计算其祖先节点的值即可。

    /**
     * @param treeIndex 表示线段树节点的索引( tree 数组中节点对应的位置 )
     * @param tl 该节点所表示区间的左端点（data数组的范围）
     * @param tr 该节点所表示区间的右端点
     * @param e 要更新的新值
     * @param index 更新的值对应的索引
     * */
    private void set(int treeIndex, int tl, int tr, E e, int index){
        // 如果找到了对应的叶子节点，更新线段树的中节点的值
        if(tl == tr) {
            tree[treeIndex] = e;
            return;
        }
        int midle = tl + (tr - tl)/2;
        // 递归的寻找  index 对应的区间
        if( tl <= midle){
            set(getLeftChild(treeIndex), tl, midle, e, index);
        }else{
            set(getRightChild(treeIndex), midle + 1, tr, e, index);
        }
        // 子节点完成更新之后，重新计算该节点的值
        tree[treeIndex] = merge.merge(tree[getLeftChild(treeIndex)], tree[getRightChild(treeIndex)]);
    }

3. 扩展
     懒惰更新、多维线段树、动态线段树、树状数组。

代码地址