2D射影几何与变换

1.基本表示

列向量：粗体符号如x总是表示列向量，其转置表示行向量。

欧氏空间：，为维度。

射影空间：，为维度。

2D射影空间与欧氏空间关系：

2.2D射影平面

1）点与直线

点的表示：

直线的表示：

结论1：点在直线上当且仅当

结论2：两直线和的交点是

结论3：过两点和的直线是

2）理想点与无穷远线

理想点：的点，可写成

无穷远线：理想点的集合，直线方程为

对偶原理：2d射影几何中的任何定理，互换定理中的点和线的位置，新的结论依然成立。

3）中的点和直线在中的绘制

点：过原点的射线（不包括原点）

直线：过原点的平面（不包括原点）

4）二次曲线与对偶二次曲线

二次曲线的表示形式

a.二阶多项式

                

b.矩阵

                

其中：

                

二次曲线的求解（五点法）

                

其中，，称二次曲线时我们可以直接说二次曲线或者二次曲线

二次曲线的切线

结论4：与二次曲线相切于点的直线由确定

对偶二次曲线

上面定义的二次曲线是通过二次曲线上的点来定义的，我们也可以使用二次曲线上的切线来定义二次曲线，记为：

                

退化二次曲线

非满秩矩阵所定义的二次曲线称为退化二次曲线，退化的点二次曲线包含两条线（秩2）或一条重线（秩1）

3.射影变换

射影映射是到它自身的一种满足下列条件的可逆映射三点共线当且仅当

也共线。映射是射影映射的充要条件是：存在一个

非奇异矩阵（行列式不为零），使得的任何一个用矢量表示的点都满足

举个栗子：消除平面透视图像的射影失真

1）直线与二次曲线的变换

在点变换下

直线的变换：

二次曲线的变换：

对偶二次曲线的变换：

4.变换的层次

1）等距变换

变换方程：

                

分块形式：

                 

其中，为保向变换，称为逆向变换，为旋转矩阵，满足正交

性（），是二维平移向量。

不变量：长度、角度、面积。

群和定向：保向的等距变换形成一个群，逆向的等距变换没有该性质。

2）相似变换

变换方程：

                

分块形式：

                

不变量：直线夹角、线段长度比、面积比。

度量结构：确定到只差一个相似变换的结构，第九章将继续讨论重构。

3）仿射变换

变换方程：

                

分块形式：

                

其中是非奇异矩阵，可以由进一步分解：

                

                

式中是对角阵，是正交矩阵（）。仿射矩阵

被看成是对原物体旋转，然后对物体的在和方向分别缩放倍，然后再旋转。

（以上操作相当在物体方向对物体缩放倍，在垂直于的方向缩放倍），最后对物体执

行一个角度的旋转。

不变量：平行线，平行线段的长度比，面积比

4）射影变换

分块形式：

                

不变量：四个共线点的交比

补充：射影变换与仿射变换的本质区别为射影变换中的不是零，因此变换是非线性的。比如仿射变换作用于理想点，结果仍为理想点，而射影变换则将理想点变换为有限点。

射影变换的分解：

                

其中是满足的归一化上三角矩阵。如果，上述分解是有效的，如果为正，则分解唯一。

5.1D射影几何

直线上的点用齐次坐标表示为表示，的点称为理想点。

交比    交比是的基本射影不变量，给定4个点，交比的定义为

                

其中：

                

共点线    共点线是直线上共线点的对偶，任何四条共点线都有一个确定的交比