377. 组合总和 Ⅳ ——【Leetcode每日一题】

377. 组合总和 Ⅳ

给你一个由 不同 整数组成的数组 nums ，和一个目标整数 target 。请你从 nums 中找出并返回总和为 target 的元素组合的个数。

题目数据保证答案符合 32 位整数范围。

示例 1：

输入：nums = [1,2,3], target = 4
输出：7
解释：
所有可能的组合为：
(1, 1, 1, 1)
(1, 1, 2)
(1, 2, 1)
(1, 3)
(2, 1, 1)
(2, 2)
(3, 1)
请注意，顺序不同的序列被视作不同的组合。

示例 2：

输入：nums = [9], target = 3
输出：0

提示：

• 1 <= nums.length <= 200
• 1 <= nums[i] <= 1000
• nums 中的所有元素 互不相同
• 1 <= target <= 1000

进阶： 如果给定的数组中含有负数会发生什么？问题会产生何种变化？如果允许负数出现，需要向题目中添加哪些限制条件？

思路：(动态规划、完全背包)

数组nums中的整数使用次数的限制，此问题属于 0-1背包 的 完全背包 ，解法和 0-1背包 类似：

0 - 1背包问题（万能统一代码）

该问题求元素组合数，是带顺序的，也就是说整数必须按一定的顺序放入背包：

• 求解 顺序的完全背包 问题时，对 物品的迭代 应该 放在最里层，对 背包的迭代 放在外层，只有这样才能让物品 按一定顺序 放入背包中。
• 定义 dp 数组：dp[i] 表示 总和为 i 的元素组合数；
• 状态转移方程为：
  • 初始状态：
    $$dp[0]=1$$
  • 如果 nums[j] <= i 时，加上 nums[j] 的组合数等于 不加 nums[j] 的组合数：
    $$dp[i]+=dp[i-nums[j]]$$

代码：(Java / C++)

java

public class CombinationSum4 {

	public static void main(String[] args) {
		// TODO Auto-generated method stub
		int[] nums = {1, 2, 3};
		int target = 4;
		System.out.println(combinationSum4(nums, target));
	}
	public static int combinationSum4(int[] nums, int target) {
		
		//排列带顺序，求解有顺序的完全背包时，对物品的的迭代放里面，对背包的迭代放外面
		//只有这样才能让物品按一定顺序放入背包
		int[] dp = new int[target + 1];
		for(int i = 1; i <= target; i++) {
			for(int num : nums) {
				if(i == num ) {
					dp[i]++;
				}
				if(i > num) {
					dp[i] += dp[i - num];
				}
			}
		}
		
		return dp[target];
    }
}

C++

#include 
#include 

using namespace std;

int combinationSum4(vector<int>& nums, int target) {

	//排列带顺序，求解有顺序的完全背包时，对物品的的迭代放里面，对背包的迭代放外面
	//只有这样才能让物品按一定顺序放入背包
	vector<int> dp(target + 1, 0);
	dp[0] = 1;
	for (int i = 1; i <= target; i++) {
		for (auto num : nums) {
			if (i >= num) {
				//c++计算的中间结果会溢出，但因为最终结果是int
				//因此每次计算完都对INT_MAX取模，0LL是将计算结果提升到long long类型
				dp[i] = (0LL + dp[i] + dp[i - num]) % INT_MAX;
			}
		}
	}
	return dp[target];
}

int main() {

	vector<int> nums = {1, 2, 3};
	int target = 4;

	cout << combinationSum4(nums, target) << endl;

	system("pause");
	return 0;
}

运行结果：

复杂度分析：

• 时间复杂度：$O(n\ast target)$ , target为 目标整数 target，len 为nums中整数的个数。
• 空间复杂度：$O(target)$ , target为 目标整数 target。

有序完全背包相似题目：

139.单词拆分

注：仅供学习参考！

题目来源：力扣。