矩阵分解算法原理及实现(Matrix Factorization)

项目地址：https://github.com/Daya-Jin/ML_for_learner
原博客：https://daya-jin.github.io/2019/01/07/MatrixFactorization/

概述

在机器学习领域通常会用到矩阵分解技术，目的就是维度规约或压缩存储，本文做一个简单的总结与概述。

EVD

特征值分解(Eigenvalue Decomposition)，假设对于一个的方阵，有如下等式成立：

其中为常数，为列向量。那么满足上式的为矩阵的特征值，对应的为特征向量，方阵的特征向量是相互正交的。写成矩阵形式有：

其中为特征值由大到小排列构成的对角矩阵，为特征向量构成的方阵。选取前大的特征值，那么降维后的可以表示成：

EVD即是PCA的原理。

SVD

奇异值分解(Singular Value Decomposition)，假设对一个的矩阵，SVD的目标是把分解成如下形式：

其中是与同形状的奇异值矩阵。由矩阵乘法的性质可得，矩阵的形状为，的形状为。同样类似的，与都是正交方阵。

SVD可以通过EVD来实现，注意到：

不难发现可以分别通过对和做EVD可以得到和，而则是特征值的开方。选取前大的奇异值，那么可以近似压缩存储成：

对于降维，有：