寻找第k大的数

目录：
1、引子
2、排序解决法
3、类快排解法
4、最小堆解法

1、引子

日常编码中，常见遇到这样的问题，“寻找最大的数”，此问题非常容易，可暴力直接遍历找出，也可使用分冶策略找出最大值（详见分冶算法）。

本文中需要寻找第k大的数，笔者目前想到3个方法可解决它。

2、排序解决法

如果是一个有序数组，那么寻找第k的大数则相当简单了，且效率为1。数组排序算法中相对较优的算法为快速排序，效率为N*lgN，将数组从到到小排列，第k大的数则为array[k-1]。

快排的思想为，从数组中取任意一个值key，将大于key的值放在key右边，小于key的值放在key左边。key的左边和右边则都是有序的了，然后递归key左边的子数组和key右边的子数组，直到每个子数组长度为1，此时，整个数组均有序了。

代码如下

public static int partition(int[] array, int left, int right) {
    int k = array[left];
    int i = left;
    int j = right;
    while (j > i) {
        while (array[j] < k && j > i) {
            j--;
        }
        if (j > i) {
            array[i] = array[j];
            i++;
        }
        while (array[i] > k && j > i) {
            i++;
        }
        if (j > i) {
            array[j] = array[i];
            j--;
        }
    }
    array[i] = k;
    return i;
}

public static void quickSort(int[] array, int left, int right) {
    if (left >= right) {
        return;
    }
    int i = partition(array, left, right);
    quickSort(array, left, i - 1);
    quickSort(array, i + 1, right);
}

本文中快排略有差异，是按从大到小顺序排列。
快排的partition算法有两种写法，具体可查看快速排序及主定理。此解法效率为N*lgN

3、类快排解法

由于只要求找出第k大的数，没必要将数组中所有值都排序。

快排中的partition算法，返回key在数组中的位置，如果key的位置正好等于k-1，那么问题则得到解决，如果key的位置不等于k-1，可使用递归查找对应子数组。直到key的位置等于k-1，则找对问题的解。

public static int findK(int[] array, int left, int right, int k) {
    int i = partition(array, left, right);
    if (i == k - 1) {
        return array[k - 1];
    } else if (i > k - 1) {
        return findK(array, left, i - 1, k);
    } else if (i < k - 1) {
        return findK(array, i + 1, right, k);
    }
    return 0;
}

此解法的效率值为N*lgK，由于K是常数，所以此解法效率值为N，优于排序解法

4、最小堆解法

最小堆是一种特殊的数组结构，它实质是一个完全二叉树，且树中子节点的值均大于父节点的值，详见 堆排序及优先队列。

考虑到只需要找到第k大的数，构造一个大小为k的最小堆，堆中根节点为最小值。如果数组中最大的几个数均在堆中，那么堆中根节点的值就是问题的解。

构造最小堆

public static void maxHeapify(int[] array, int size, int i) {
    int left = 2 * i + 1;
    int right = 2 * i + 2;
    int small = i;
    if (left < size) {
        if (array[small] > array[left]) {
            small = left;
        }
    }
    if (right < size) {
        if (array[small] > array[right]) {
            small = right;
        }
    }
    if (small != i) {
        int temp = array[small];
        array[small] = array[i];
        array[i] = temp;
        maxHeapify(array, size, small);
    }
}

public static void buildHeap(int[] array, int size) {
    for (int i = size - 1; i >= 0; i--) {
        maxHeapify(array, size, i);
    }
}

最小堆已构造完成，将数组中剩余的值与根节点相比，大于根节点的值则将根节点的值与之交换，同时维护最小堆的特性，遍历结束，则根结点即为问题的解。

public static int findKByHeap(int[] array, int k) {
    buildHeap(array, k);
    for (int i = k + 1; i < array.length; i++) {
        if (array[i] > array[0]) {
            int temp = array[i];
            array[i] = array[0];
            array[0] = temp;
            maxHeapify(array, k, 0);
        }
    }
    return array[0];
}

代码地址：https://github.com/okunu/DataStructure ，欢迎访问本人的github