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简介
3D世界中，点是三维的，但是我们的屏幕是二维的，如何将三维的点变换成二维的是图形学中最重要的一步，也是最基础的一步。
我们的物体是在世界坐标系的，如果直接变换成屏幕坐标系，那么比较麻烦。我们需要先把点变到相机坐标系（因为相机坐标系转换到屏幕坐标系比较简单）。然后再把点变换到屏幕坐标系。
相机矩阵跟投影矩阵要配合着一起使用。
有关矩阵的知识的补充：
假如有一个二维点，我们想实现平移，矩阵该是什么样子的？
无论怎么找，我们都发现矩阵无法实现平移操作！
而且我们得到的结果（X，Y）中不可能存在1/Xo或者1/Yo这种结果
|X| = |A11,A12| x |Xo|
|Y| |A21,A22| |Yo|
于是有人一直钻研这个问题，终于想出了一个解决办法，就是上提升一个维度。
|X| |A11,A12,Xt| |Xo| // Xt,Yt是平移的距离
|Y| = |A21,A22,Yt| X |Yo|
|1| | 0 , 0 ,1 | |1 |
并且约定最后最后一个维度为1，这样矩阵有个特点，
最后一个维度代表了这个向量的整体缩放程度。
OpenGL下的坐标变换
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首先我们要讲一下相机矩阵。
物体的绘制在屏幕上的位置取决于我们从哪里看，从正面看跟从背面看得到的是不一样的形状。
不管从哪里看我们最终还是要变换到屏幕上。
一般摄像机在原点，并且朝向和头顶方向跟坐标轴平行才比较好变换到屏幕坐标系上去。
下图是OpenGL常用的相机坐标系
我们就拿这个相机坐标系举例子。
我们需要做的是把世界的点变换到相机坐标系下，其实变换前的点跟变换后的点，都是一样的，不过在不同的坐标系下面，表示不同，体现在坐标数值上的变化（可以理解为，你是90后，对于70后来说，你是嫩草，对于10后来说，你是老牛，只不过叫法不同了，你还是那个你）。
即此，我们需要把世界坐标系的点映射到相机坐标系上面去。
在上面的相机坐标系中，相机的位置是原点，Z轴与相机朝向相反，X朝右，Y朝上。
学过线性代数的也知道，A、B两个向量 点乘 得到的是A向量在B向量的长度乘上B向量的长度（反过来也成立），那么如果A向量长度为1，那么A、B点乘得到的是B向量映射在A向量的长度，如果我们想知道世界坐标系的点在相机坐标系所对应的X，Y，Z值，我们把世界坐标系的点跟相机X、Y、Z轴在世界坐标系的单位向量相乘，就能得到世界点在相机坐标系下的X\Y\Z轴下的长度，因此就能得到对应的相机坐标。
假设，我们已经求出来X，Y，Z三个单位向量（单位向量指长度为1，也成为归一化向量），那么我们只需要把点跟这三个向量相乘就能得到新坐标系下的x\y\z值。
因此变换矩阵可以写成
|X1,X2,X3,0| // 此矩阵为行优先
|Y1,Y2,Y3,0| // OpenGL需要传入的是列优先
|Z1,Z2,Z3,0| // 要么把矩阵转置传进去
|0 ,0 ,0 ,1| // 要么直接写列优先矩阵
但是我们相机的位置不在原点，也就是说相机坐标系跟世界坐标系的原点不重合，如果不把两个坐标系的点重合到一起，是求不出正确的结果的，我们需要先把相机坐标系的点平移到世界坐标系。你可以想象成把相机跟点一起平移了相同的位置，这样都平移了，这些点的相机坐标系下的表示都没有变，而且由于世界跟相机坐标原点重合，能够进行向量坐标映射。
于是我们要先平移后再进行上面坐标映射的矩阵相乘。下面是平移矩阵
// 设相机的位置为C
|1,0,0,-Cx| //此矩阵为行优先
|0,1,0,-Cy|
|0,0,1,-Cz|
|0,0,0, 1 |
因此返回的矩阵为
|X1,X2,X3,0| |1,0,0,-Cx| // 矩阵都是左乘点于点
|Y1,Y2,Y3,0| X |0,1,0,-Cy|
|Z1,Z2,Z3,0| |0,0,1,-Cz|
|0 ,0 ,0 ,1| |0,0,0, 1 |
下面贴代码
// 这是最近写的js代码，列优先
// OpenGL以前写过，找不到了，懒得手撸了，因为还要测试Bug
// 这里记住，向量一定要归一化，要不然得不到正确结果
// OpenGL用的是右手坐标系
// ^ Y
// |
// |
// 。-----------------> X
// /
// Z /
// V
function getMatrix_LookAt(eyePosition,lookDirection,upDirection)
{
let result=new Matrix4();
let Y=new Point3();
let Z=new Point3();
for(let i=0;i<3;i++)
{
Z.data[i]=-lookDirection[i];
Y.data[i]=upDirection[i];
}
Z.normalize();
let X=cross(Y,Z);
X.normalize();
Y=cross(Z,X);
Y.normalize();
let matrix_move=getMatrix_translate_xyz(-eyePosition[0],-eyePosition[1],-eyePosition[2]);
let matrix_transform=new Matrix4();
matrix_transform.identity();
for(let i=0;i<3;i++)
{
matrix_transform.data[4*i] = X.data[i];
matrix_transform.data[1+4*i]=Y.data[i];
matrix_transform.data[2+4*i]=Z.data[i];
}
return multiply_matrix(matrix_transform,matrix_move);
}
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OpenGL下的投影坐标系
OpenGL投影方法为两种，一个是正交一个是透视，正交投影就是把X，Y，Z老老实实平移到相应屏幕点上，在工程制图上比较常用
透视投影就是模拟人眼远小近大的原理，投射到屏幕上。这里暂时只讲透视投影，后面哪天有时间想起来再补充正交，自己可以推导出来，很简单的。
opengl屏幕坐标系为Y朝上，X朝右。下图为视锥体的一个侧面图。
X,Y,Z为[-1,1]以内的才会保留，在外面的会被裁剪掉。我们需要把在视锥体里的点变换到[-1,1]之内。
这里先提前声明一下概念：
Xe : Xeye的缩写，代表相机坐标系下的X坐标
Ye: 同上
Ze: 同上
Xp: Xprojection的缩写，代表被线性变换到近平面的X坐标 这时候还没有被缩放到[-1,1]。
Yp: 同上
Xc: Xclip的缩写，代表被变换到裁剪坐标的X坐标，Xc的产生完全是因为矩阵没有办法直接一步除-Ze的折衷办法，他在推理上没必要存在的。在推理上直接一步到Xn.
Yc: 同上
Zc: 同上
Xn: Xndc的缩写，代表标准设备坐标系的X坐标
Yn: Yndc的缩写，代表标准设备坐标系的Y坐标
Zn: Zndc的缩写，代表标准设备坐标系的Z坐标
上面的关系是：
Xc是Xp缩放到[-1,1]的坐标，投影矩阵包括了将Xe映射到近平面的Xp，然后缩放Xp到Xc的操作
Xc=投影矩阵*Xe
Xn=Xc/Wc (这一步是渲染管线自动算的，我们只需要把-Ze存到Wc分量)
由于后面推导的Xn、Yn都要除-Ze，然而矩阵有个缺点，就是不能进行一次性进行除-Ze操作，所以我们把-Ze放在W向量上，相当于X，Y，Z分量不变的情况下，扩大了W倍，到光栅前，管线会自动进行除W分量操作。
我们无法一次性变换到屏幕坐标系（但是渲染管线自动除W分量），那我们就变换到没有除W分量的裁剪坐标系。
因此我们推出最后一行，这样变换后的向量的W分量就是-Ze：
如果这里不理解不要紧，我讲的顺序有点问题，先看后面Xn、Yn的推导，再来看这里，然后再看Zn的推导。
利用相似三角形：
Xp=n*Xe/-Ze
Yp=n*Ye/-Ze
Xp、Yp是在近平面上的坐标但是在[-1,1]范围外，我们需要把在近平面内的映射到[-1,1]，因此
Xn=Xp/近平面的长度/2
Yn=Yp/近平面的高度/2
因此，推导出:
2*n*Xe
Xn= ——————————
-Ze*(r-l)
2*n*Ye
Yn= ——————————
-Ze*(t-b)
如果你的视锥体表示方式是Fovy,apect
Fovy指相机垂直方向的角度，aspect指近平面宽高比
2*Xe
Xn= ————————————————————
-Ze*tan(fovy/2)*aspect
2*Ye
Yn= ———————————————
-Ze*tan(fovy/2)
由于我们-Ze是单独除的，换一种说法是Clip坐标系=NDC坐标系*-Ze;
上面的公式去掉Xe/Ye和-Ze就是系数。因此我们推导出了前两行矩阵
|2n/(r-l) 0 0 0| |Xe|
| 0 2n/(t-b) 0 0| X |Ye|
| 0 0 A B| |Ze|
| 0 0 -1 0| |We| //这里如果正常变换的话We应该为1
如果参数是是Fovy 和Aspect，
矩阵为：
|1/(tan(fovy/2)*aspect) 0 0 0| |Xe|
| 0 1/tan(fovy/2) 0 0| X |Ye|
| 0 0 A B| |Ze|
| 0 0 -1 0| |We| //这里如果正常变换的话We应该为1
Z变换肯定和X、Y没有关系，因此我们把第三行前两个系数设为0，那么Z的变化就跟后面两个系数有关系，我们设他们为A、B,这是就要解方程了，
Zn=Zc/-Ze // 裁剪坐标系除-Ze才是齐次化标准坐标系
Zc=A*Ze+B // 裁剪坐标系
Zn=(A*Ze+B)/-Ze
我们要把视锥体里的Z映射到[-1,1]
因此
当Ze=-n的时候,Zn=-1;
当Ze=-f的时候,Zn=1;
带入方程,得：
-1=(A*-n+B)/n
1=(A*-f+B)/f
解方程得:
A=(f+n)/(n-f)
B=2*f*n/(n-f)
因此投影矩阵为：
|2n/(r-l) 0 0 0 | |Xe|
| 0 2n/(t-b) 0 0 | X |Ye|
| 0 0 (f+n)/(n-f) 2*f*n/(n-f) | |Ze|
| 0 0 -1 0 | |We| //这里如果正常变换的话We应该为1
如果参数是是Fovy 和Aspect，
矩阵为：
|1/(tan(fovy/2)*aspect) 0 0 0 | |Xe|
| 0 1/tan(fovy/2) 0 0 | X |Ye|
| 0 0 (f+n)/(n-f) 2*f*n/(n-f) | |Ze|
| 0 0 -1 0 | |We| //这里如果正常变换的话We应该为1
如果之前没有在W分量上做整体缩放操作的话的上式结果向量应该为
| Xc | 我们把点变换到这里就结束了，
| Yc | 在vertex shader里面把点变换成左边的样子，
| Zc | 然后送入光栅化阶段。
|-Ze | OpenGL会在光栅化之前，自己进行除W分量操作，
把上面的点变换成
|Xc/-Ze|
|Yc/-Ze|
|Zc/-Ze|
| 1 |
此时，这个坐标就是我们要的齐次化设备标准坐标系
|Xn|
|Yn|
|Zn|
| 1|
注意投影矩阵的Z变换不是线性变换，引用一下别人的图
上面函数显示，Zn在远处变化较慢，这就说明，如果两个非常远的物体深度相近，变换后Z有可能是相同的值，导致Z值冲突。
Vulkan下的坐标变换
Vulkan跟OpenGL用的都是右手坐标系，但是Vulkan的屏幕坐标系的Y轴跟OpenGL相反。
Vulkan的Z值方向大小跟OpenGL一样。
X/Y范围都是[-1,1]。
前面我们说过，其实相机坐标系不是固定的，作为渲染API，它只是给你指出他裁剪的标准化屏幕坐标系范围，你只需要给他变换到对应的裁剪坐标系就好，它不关心你中间用了坐标系。
介于Vulkan的屏幕坐标系Y轴是向下的，那么我们用的相机坐标系跟他相近就好，如下图所示：
然后投影矩阵在上面坐标系的基础上变换到Vulkan的屏幕坐标系，这里就不推导了，直接上C++代码，满足伸手党。
// RR是行
//CC 是列
// 只有行列都为4的时候本矩阵才有效。
// 本矩阵为行优先，传入Vulkan需要在Vulkan选项或者GLSL里设置转置
// 本代码是自己写的库的其中一部分
// 完整库代码地址:
// https://github.com/kaqima/MyOwnLibrary
// 在Math目录下的Matrix.hpp头文件
template
static enable_if_t > getMatrix_LookAt_Vulkan(const Point& position,const Point& direction,const Point& up)
{
Matrix result;
result = Matrix::getMatrix_Translate(-position);
Point Z = Point::normalize( direction);
Point X = Point::multiply_cross(Z, up).normalize();
Point Y = Point::multiply_cross(Z, X).normalize();
Matrix left = { Point(X,0.0f), Point(Y,0.0f),Point( Z,0.0f),Point(0.0f,0.0f,0.0f,1.0f)};
return left*result;
}
template
static enable_if_t > getMatrix_Perspective_Vulkan(const T& fov_H,const T& aspect_WdH,const T &zNear,const T &zFar)
{
Matrix result;
result.identity();
constexpr double PI = 3.1415926;
TT a = (fov_H / 180) * PI;
TT H = tan(a /2.0f);
result[0][0] = 1 / (H*aspect_WdH);
result[1][1] = 1 / H;
result[2][2] = zFar/(zFar-zNear);
result[2][3] = zFar*zNear/(zNear-zFar);
result[3][3] = 0;
result[3][2] = 1;
return result;
}