在知识与方法互相交织中洞察学生的思维---- 关于“一道求三角形面积的习题”的思考

    【案例描述】

      在一次课堂练习中，没有给学生任何提示和讲解，直接让学生独立完成，结果令人大跌眼睛，正确率居然不足10%，很多学生也因为各种不同的原因选择了不同的错误答案。题目如下：用边长1米的三根小棒围成一个等边三角形，这个三角形的面积是（    ）。

       A、1平方米       B、比1平方米小，比0.5平方米大

      C、0.5平方米     D、比0.5平方米小   E、不能确定

     因为刚刚学过三角形的面积公式，学生稍加思考做出了自己的选择。学生选择的答案统计如下： 选A选B选C选D选E人数2712549百分比47.37%21.05%8.78%7.01%15.79% 

    【结果分析】

       面对等边三角形面积的计算，有的学生忽略了寻找对应的底和高，第一反应用相邻两边相乘得到1，感觉挺简单、舒服，于是选择A；有的学生又想起三角形面积公式中的除以2，于是选择C;有的学生明确三角形面积公式，发现三角形的底是1米，而高不知道是多少，也没有再认真思考，于是选择E;有的学生发现这个三角形的面积比边长为1的正方形面积要小（图1），没有辨别三角形面积与0.5平方米的大小关系，于是选择B。

    【二次选择】

      面对学生个性的思维差异，“掩耳盗铃”、“ 置之不理”都不可取。只有“泰然应对”，让学生畅所欲言谈谈自己选择的理由是什么。学生面对各种不同的思路都有自己的思考，经历思维的洗涤后，第二次重新选择结果统计如下： 选A选B选C选D选E人数1511535百分比1.75%8.8%1.75%26.32%61.40%    

    【对比分析】

       对比两个表格明显发现选择A的学生几乎没有了，同时也明白了刚才的选择毫无道理；选择C的学生也理解三角形面积是对应底和高的乘积的一半，而不是相邻两边的乘积的一半；选择E的学生明显上升，三角形的底是1米，而底边上的高确实不知道是多少米，这样的分析也是有道理的。小学生习惯问题解决的最后是具体的算式，准确的答案，而此题恰恰是通过数学推理得到一个确定的范围。通过以上的分析发现，学生对三角形面积理解还存在模糊的地方，运用知识解决问题缺乏相应的方法和策略。这道题有一定的思维含量，要求学生具有问题思考的能力和处理问题的策略。要想正确的解答本题需要具备的知识点有三角形面积公式、从直线外的一点到这条直线的距离最短（或在一个直角三角形里，斜边最长），需要解决问题的策略有画图、推理、比较。只有“知识”加“方法”的有机结合，才能顺利解决问题。    具体分析思路如下：用虚线做出三角形底边上的高（如图2）。假定三角形的高是1米，那么等边三角形的面积是1×1÷2=0.5平方米。比较:虚线的长度和1米的关系？三角形的高小于1米，三角形的面积就小于0.5平方米。（三角形的高小于1米的解释有两种:①、在直角三角形中，直角边小于斜边。②、直线外的一点到已知直线的所有线段中，垂直线段最短。）

     【教学反思】

      1.正确的背后可能隐藏着模糊，甚至错误。第一次去朋友家记得没错是九楼，按门铃0901；第二次去朋友家记得没错是九楼，按门铃0901；忽然第三次去朋友家却记得是八楼，按门铃0801，结果错了，矛盾冲突引起思维的碰撞，以后再也没有犯过这样的错误。人往往有时在自认为正确实则错误中不断的纠正自己的错误，在错误中获得发展。特级教师贲友林说：“课堂上，一个学生回答对了，并不意味着全班学生都正确认识这个问题。在某位学生正确想法的旁边，可能还有其他学生存在或是模糊或是错误的想法；在学生能够正确解答的背后，可能还隐藏着学生对这个问题或是歧义或是错误的想法。”所以第一次见到学生的作业写对了，第二次同样的问题又写对了，可能就在期中考试测试中写错了，这是正常的。一次、两次的正确，不一定是真正的掌握，起初可能是记忆成分在，也可能是机械的模仿。只有在实践练习中放慢教学节奏，让学生的思维实现深度卷入，逐渐抛离非本质因素的影响，让思维品质更加能经得起考验。

      2.“交流好”才是“真的好”。    通过不断的练习与讲解来弥补学生在学习中的“漏洞”，真可谓是教学上的“补胎”。而“补胎”的背后是课堂交流中存在着“隔靴挠痒”、“浅尝辄止”、“囫囵吞枣”……课堂教学的本来面目是师生之间开展的思维“交流会”，思维敞亮，互通有无，是正面的、直接的，在思维上赤裸裸的接触，具有开放性和双向性。然而实际教学却更多的是带有“滞销”性质的“展示会”，教师将自己的思维展示给学生，其间也有学生发言，不过是对教师思维的理解或是教师思维的延续。长此以往，教师习惯于讲解，学生习惯于倾听，无意中在课堂上形成一种无形的“封锁线”，让学生对知识的理解犹如“夹生饭”，对知识的感悟流于形式、浮于表面。

      3.独立思维，生成智慧，才是课堂学习的“大道”。小学是创造性想象力发展的黄金期。任何问题解决的背后，都悄悄流淌着思维方法的潜流，教师的作用就是让学生朦胧的思维清晰起来，明亮起来。知识本身没有力量，只有当我们用思维方法的杠杆去撬动知识解决问题时，才能实现知识的力量，达到智慧的生成。直接教给学生算法和技巧得出结论，然后模仿套路去解题，那么这时儿童的经验就不是真正的经验，而仅仅是努力记住别人经验结果的叙述，发现与探索的思维就受到了限制。一味追求解题技巧的“末”与“术”，就失去了思维方法的“本”与“源”。

      孩子的世界是一个以想象、敏感和好奇为酵母的世界。课堂要给学生充足探究空间和时间，思维的养成、发现的乐趣和探索的沉醉让学生受益终身。作为教师尊重学生的差异，读懂学生的个性思考，不断创造最近发展区，并把最近发展区转化为新的现有发展区。