Floyd算法【图解证明】

算法介绍

Floyd参考：这位作者的代码和公式已经非常棒了，所以对于过程和定义就不过多赘述了

排序法证明

其实上文链接也有证明过程，也有去翻过其他博客，基本都是这个证明过程，不过这个证明过程有些问题。
该证明过程的前提条件是点集内部是从小到大排序的，证明原理就是当求到k时，小于k的都已经得到最优解。
这样的证明限制了点集序号必须严格排序计算，但实际在计算过程中，点序是任意的，倒序、随机抽取都可，所以排序法的证明相对局限。

倒序： 6 5 4 3 2 1
奇偶互换：2 1 4 3 6 5
随机抽取：2 5 1 3 4 6

这里就不贴代码了，总之试过都AC了。

图解证明

由于各点之间没有顺序关系，为了避免误会，这里就不用1234…来标记了，直接用等价字母替代。
我们最终的目的是找一条最短路径，通往a->k：a->b->c->d->e->f->g->h->i->j->k，假设存在这么一条最短路径，即下图：

从a开始，经过许多点，最终到达k，此路径是最短的，故这里相邻两点之间肯定是互相连通着的。
很明显发现，比如a->c其代价很大：100，而a->b->c的代价很小：dis[a][b]+dis[b][c]=2，故最短路径走a->b->c。

1. 最优解集合的初始化

首先我们任意取一点：e
我们可以将e看作一个只包含自身的最优集合
我们不考虑其他点，只考虑e本身和其临近点，即：{d,e,f}

可以发现 能够得到 {d,e,f} 中任意两点间的最优解，即这个点集中互相到达情况下的最短路径。
以e为跳板，Floyd一定会遍历到：dis[d][f]=dis[d][e]+dis[e][f]；而根据最短路径图可以得知，该路径值就是dis[d][f]的最优解。
故此时集合{d,e,f}内任意两点间的dis都是最优的.
此时是以e为选中点,将其左右临近点纳入自身的最优集合之中

2. 最优解集合的扩大

我们紧接着再假设下一个选取的点为：f
我们可以发现在 {d、e、f}点集中，以f为选中点，可以与临近点g取得联系。
例如dis[d][g]=dis[d][f]+dis[f][g]，从d->g的路线即d->e->f->g。

我们不考虑其他点，只考虑集合 {d、e、f}和临近点g，Floyd算法会将任意两点间以f为跳板，计算出其中最短的路径，最终在这个{d,e,f,g}点集中，任意两点都是最短路径。

此时我们是以f为选中点，将右边的临近点g纳入集合（左边的临近点已经是最优集合内的点）。

3. 最优解集合的合并

由于是随机选择，出现下面情况的可能性也是非常大的。
我们依次选择了e,f,i,h作为选中点，最后发现存在两个最优解集合{d,e,f,g}、{g,h,i,j}。

此时我们以g为选中点，可以发现，两边集合都可以通过g作为跳板,例如可推出最优距离dis[d][i]=dis[d][g]+dis[g][i]。

在这个{d,e,f,g,h,i,j}的集合中，经过Floyd的遍历，该集合以g为跳板，最终形成集合内最优解，集合内任意两点之间的dis都是最优的。

此时我们是以g为选中点，因左右两边都是集合，故发生合并。

4. 全集最优解

依据上述步骤，每一个点都会被选择一次，最优解集合会不断地扩张，最终整个点集都纳入最优解集合。

a->k得到了最优解：a->b->c->d->e->f->g->h->i->j->k。
总结：选择任意点集(单独一个点也是一个点集)，其可以吸纳融合临近的点集。故通过不断地选择任意点集，局部的点集合不断吸纳融合扩大，最终得到全局合并的最优集合。