一道题是这样解决的

2020徐州期末试题

该题出处，题头已说明，是2020年，徐州期末试题。该题图文结合 ，条件问题清晰，要求明确，先判断再说理。题意不难理解。运用已有的特殊三角形（含30度角的直角三角形性质与正三角形性质与判定定理）知识 ，三角形全等的性质与判定条件，旋转对称性质定理解决这一问题。按理说不难，但却比想象的棘手。

第一问，证明等边三角形。可以根据等边三角形的判定定理，有一个角60度的等腰三角形是等边三角形判定，或者三内角相等的三角形是等边三角形判断；也可以根据三边相等的三角形是等边三角形的定义判断。总之，方法比较多，条件又充分，不难解决这个问题。只是在表述推理上，讲究表达严谨，使用哪个解决问题的思路，一定说得明明白白，每一步有根有据，令人信服。

接下来的两问，从正面分析思考，严谨论证，比较困难。

先规范作图，60度角BMG的顶点，在CD线段上，一边过点B，另一边与DE延长线有个交点G。角度画准，不难观察发现：AD=DG+DM。

第二步，运用分析综合方法，理清解题思路。由问题（1）得，AD=2DE，DE=DC，而DE=DG-EG，DC=CM+DM即AD=2DE=DE+DC=DG-EG+CM+DM=DG+DM+（CM-EG）。问题转化为中间问题：求证CM=EG。也就是证明三角形BCM全等于三角形BEG。由条件易得，角BCM等于角BEG，BC=BE，还差一组条件，一对角或者一对边相等。傍晚开始思考，半个小时，两个小时过去了，还是不得其解。脑筋反而越用越迟钝。第二天，再行分析研究，仍没眉目，60度角BMG这个条件就是用不上。咦！奇怪，一道看上去不怎么难的问题，做起来却“深”不可测！

常念叨“数学实验启思明理”，怎么在解决这个问题上失灵了？不行，我不信。动手动脑，现在白纸上画个含30读角的直角三角形，与30度角的三角尺同样大，60度角的平分线，斜边的中垂线，这些谙熟于心的条件，静止不动，都已正确理解应用。欲证CM=EG，就要证三角形BCM全等于三角形BEG，但缺少一对角相等条件，而DC边上的动点M，在线段DC上不停移动，这个条件怎么想也使不上劲。难道这个理论分析有问题？我便将60度角的顶点放在DC上，不停移动，来回反复操作，观察发现：CM=EG，三角尺实验验证了要证的结论正确。关键是怎么证明两三角形全等。往“初中数学一题多解千人QQ群里”发了该题，没有人回答。因此，“靠、等、拖”没点用处。

第一问正三角形BCE，证明过的结论，还没发挥作用。于是我又剪裁一个等大小的正三角形，绕点B逆时针旋转开了，希望获取灵感，发现解题思路。在旋转过程中，其BC、BE边的延长线与CA、DE边的交点，构成的三角形是等边三角形。于是，同一法证明该题，应运而生。

将角CBE绕点B逆时针旋转一定角度（在0～30度间），角两边分别与CA、DE边相交，交点为M、G，不难证明∠BMG=60度，从而与该题中的条件吻合，这就是同一证法的思路特点。从而第（2）问题迎刃而解，最后一问，也不在话下。

正面分析思考，找不到解决问题的方法，就要另辟蹊径，从侧面入手，使问题“柳暗花明又一村”。那么，这一灵感是动手操作展示启迪思考得来的！

解答问题（2）

问题（3）解答