动态规划(一,最长公共子序列LCS算法)

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概念:

动态规划是运筹学的一个分支,是求解决策过程最优化的数学方法.
原理:把多阶段过程转化为一系列单阶段过程,利用各阶段之间的关系,逐个求解.
特点:分析是从大到小,写代码是从小到大.计算过程中会把结果都记录下,最终结果在记录中找到.

例子:

求两个字符串的最长公共子序列(lcs算法).

字符串:
x:abcbdab
y:bdcaba

方法:
用一个二维数组表示

" "	a	b	c	b	d	a	b
b	0	1	1	1	0	0	1
d	0	1	1	1	2	2	2
c	0	1	2	2	2	2	2
a	1	1	1	2	2	3	3
b	0	2	2	2	2	3	4
a	1	2	2	2	2	3	4

横向表示字符串x,纵向表示字符串y

• 填表的规则:
  字母相同填左上+1,不同填左和上较大的值 即 左>上?左:上
  我们来分析一下为什么这样填:
  首先,从右下角的4开始看起,4表示 abcbdab 和 bdcaba中有一个长度为4的公共子序列.
  4这个格子,a和b不相同,4是从上方来的.
  我们看向上方的4,即第5行最后一列.这时表示 abcbdab和bdcab中有一个长度为4的最长子序列.
  这个4是从左上+1来的,我们看向左上的3,即第4行倒数第二列,这就表示 abcbda 与 bdca 有一个长度为3的子序列,加上 b 就是 长度为4的子序列 ,我们用一个栈保存下b.
  以此类推,直到我们推到左上角的位置或者x和y其中一个的边界,我们得到栈中的元素,因为左上最大值可能是相同的,所以有多种情况,这里我们得到两种情况,分别是bacb和badb,pop栈中的元素的到最长公共子序列为:bcab和bdab.这就是lcs的基本思路了.

• 那么我们用动态规划的思想来整理一下:
  分析时从大到小分析>
  即我们要找到 abcbdab 和 bdcaba的最长公共子序列,先去比较最后一位是否相同,最后一位不相同我们去掉最后一位再比较,即比较abcbdab和bdcab或者abcbda和bdcaba>
  最后一位相同我们将最后一位作为中间结果拿出来保存,然后比较abcbda和bdca或者abcbd和bdcab.
  这样我们得出一个公式:

  
  
  image.png

解释一下:当最后一位相同,就把最后一位取出来,然后比较前面的,最后一位不相同就把最后一位去掉继续比较

写代码时我们先写a和b比较,然后我们比较ab和b,有相同的,我们保存b,然后比较ac和bc,以此类推

代码:

import org.junit.Test;

import java.util.Stack;

import static sun.swing.MenuItemLayoutHelper.max;

public class Lcs {

   public void lcs(String x,String y){
       char[] s1 = x.toCharArray();
       char[] s2 = y.toCharArray();
       int[][] array = new int[s1.length][s2.length];
       Stack stack = new Stack<>();

       //1.填表
       for (int i = 0; i < s1.length; i++) {
           for (int j = 0; j < s2.length; j++) {
               if (s1[i]==s2[j]){
                   if (i-1<0||j-1<0){
                       array[i][j] = 1;
                   }else {
                       array[i][j] = array[i-1][j-1]+1;
                   }
               }else {
                   if (i-1<0||j-1<0){
                       array[i][j] = 0;
                   }else {
                       array[i][j] = max(array[i-1][j],array[i][j-1]);
                   }
               }
           }
       }

       //打印
       for (int i = 0; i < array.length; i++) {
           for (int j = 0; j < array[0].length; j++) {
               System.out.print(array[i][j]+" ");
           }
           System.out.println();
       }

       //从后往前,将相同数据放入栈中
       int i = s1.length-1;
       int j = s2.length-1;

       while (i>=0&&j>=0){
           if (s1[i]==s2[j]){
               stack.push(s1[i]);
               i--;
               j--;
           }else {
               if (array[i-1][j]>array[i][j-1]){
                   i--;
               }else {
                   j--;
               }
           }
       }

       System.out.println("---------------------");

       while (!stack.isEmpty()){
           char s = stack.pop();
           System.out.print(s+" ");
       }
   }

   @Test
   public void Test(){
       lcs("bdcaba","abcbdab");
   }
}