letcode 4.寻找两个正序数组的中位数（官方题解笔记）

题目描述

给定两个大小分别为 m 和 n 的正序（从小到大）数组 nums1 和 nums2。请你找出并返回这两个正序数组的 中位数 。

算法的时间复杂度应该为 O(log (m+n)) 。

1.二分查找

1.1思路

时间复杂度：O(log(m+n))
空间复杂度：O(1)

给定两个有序数组，要求找到两个有序数组的中位数，最直观的思路有以下两种：

（1）使用归并的方式，合并两个有序数组，得到一个大的有序数组。大的有序数组的中间位置的元素，即为中位数。
（2）不需要合并两个有序数组，只要找到中位数的位置即可。由于两个数组的长度已知，因此中位数对应的两个数组的下标之和也是已知的。维护两个指针，初始时分别指向两个数组的下标 0 的位置，每次将指向较小值的指针后移一位（如果一个指针已经到达数组末尾，则只需要移动另一个数组的指针），直到到达中位数的位置。

假设两个有序数组的长度分别为 m 和 n，上述两种思路的复杂度如何？

第一种思路的时间复杂度是 O(m+n)，空间复杂度是 O(m+n)。第二种思路虽然可以将空间复杂度降到 O(1)，但是时间复杂度仍是 O(m+n)。

如何把时间复杂度降低到 O(log(m+n)) 呢？如果对时间复杂度的要求有 log，通常都需要用到二分查找，这道题也可以通过二分查找实现。

根据中位数的定义，当 m+n 是奇数时，中位数是两个有序数组中的第 (m+n)/2 个元素，当 m+n 是偶数时，中位数是两个有序数组中的第 (m+n)/2 个元素和第 (m+n)/2+1 个元素的平均值。因此，这道题可以转化成寻找两个有序数组中的第 k 小的数，其中 k 为 (m+n)/2 或 (m+n)/2+1。

假设两个有序数组分别是 A 和 B。要找到第 k 个元素，我们可以比较 A[k/2−1] 和 B[k/2−1]，其中 / 表示整数除法。由于 A[k/2−1] 和 B[k/2−1] 的前面分别有 A[0..k/2−2] 和 B[0..k/2−2]，即 k/2−1 个元素，对于 A[k/2−1] 和 B[k/2−1] 中的较小值，最多只会有 (k/2−1)+(k/2−1)≤k−2 个元素比它小，那么它就不能是第 k 小的数了。

因此我们可以归纳出三种情况：

（1）如果 A[k/2−1]，则比 A[k/2−1] 小的数最多只有 A 的前 k/2−1 个数和 B 的前 k/2−1 个数，即比 A[k/2−1] 小的数最多只有 k−2 个，因此 A[k/2−1] 不可能是第 k 个数，A[0] 到 A[k/2−1] 也都不可能是第 k 个数，可以全部排除。
（2）如果 A[k/2−1]>B[k/2−1]，则可以排除 B[0] 到 B[k/2−1]。
（3）如果 A[k/2−1]=B[k/2−1]，则可以归入第一种情况处理。

可以看到，比较 A[k/2−1] 和 B[k/2−1] 之后，可以排除 k/2 个不可能是第 k 小的数，查找范围缩小了一半。同时，我们将在排除后的新数组上继续进行二分查找，并且根据我们排除数的个数，减少 k 的值，这是因为我们排除的数都不大于第 k 小的数。

有以下三种情况需要特殊处理：

（1）如果 A[k/2−1] 或者 B[k/2−1] 越界，那么我们可以选取对应数组中的最后一个元素。在这种情况下，我们必须根据排除数的个数减少 k 的值，而不能直接将 k 减去 k/2。
（2）如果一个数组为空，说明该数组中的所有元素都被排除，我们可以直接返回另一个数组中第 k 小的元素。
（3）如果 k=1，我们只要返回两个数组首元素的最小值即可。

1.一个例子

用一个例子说明上述算法。假设两个有序数组如下：

A: 1 3 4 9
B: 1 2 3 4 5 6 7 8 9

两个有序数组的长度分别是 4 和 9，长度之和是 13，中位数是两个有序数组中的第 7 个元素，因此需要找到第 k=7 个元素。

比较两个有序数组中下标为 k/2−1=2 的数，即 A[2] 和 B[2]，如下面所示：

A: 1 3 4 9
       ↑
B: 1 2 3 4 5 6 7 8 9
       ↑

由于 A[2]>B[2]，因此排除 B[0] 到 B[2]，即数组 B 的下标偏移 offset 变为 3，同时更新 k 的值：k=k−k/2=4。

下一步寻找，比较两个有序数组中下标为 k/2−1=1 的数，即 A[1] 和 B[4]，如下面所示，其中方括号部分表示已经被排除的数。

A: 1 3 4 9
     ↑
B: [1 2 3] 4 5 6 7 8 9
             ↑

由于 A[1]，因此排除 A[0] 到 A[1]，即数组 A 的下标偏移变为 2，同时更新 k 的值：k=k−k/2=2。

下一步寻找，比较两个有序数组中下标为 k/2−1=0 的数，即比较 A[2] 和 B[3]，如下面所示，其中方括号部分表示已经被排除的数。

A: [1 3] 4 9
         ↑
B: [1 2 3] 4 5 6 7 8 9
           ↑

由于 A[2]=B[3]，根据之前的规则，排除 A 中的元素，因此排除 A[2]，即数组 A 的下标偏移变为 3，同时更新 k 的值： k=k−k/2=1。

由于 k 的值变成 1，因此比较两个有序数组中的未排除下标范围内的第一个数，其中较小的数即为第 k 个数，由于 A[3]>B[3]，因此第 k 个数是 B[3]=4。

A: [1 3 4] 9
           ↑
B: [1 2 3] 4 5 6 7 8 9
           ↑

1.2代码

1.C++

class Solution {
public:
	// 此函数作用：寻找两有序数组 nums1 和 nums2 中第 k 小的数并返回该数
    int getKthElement(const vector& nums1, const vector& nums2, int k) {
        /* 主要思路：要找到第 k (k>1) 小的元素，那么就取 pivot1 = nums1[k/2-1] 和 pivot2 = nums2[k/2-1] 进行比较
         * 这里的 "/" 表示整除
         * nums1 中小于等于 pivot1 的元素有 nums1[0 .. k/2-2] 共计 k/2-1 个
         * nums2 中小于等于 pivot2 的元素有 nums2[0 .. k/2-2] 共计 k/2-1 个
         * 取 pivot = min(pivot1, pivot2)，两个数组中小于等于 pivot 的元素共计不会超过 (k/2-1) + (k/2-1) <= k-2 个
         * 这样 pivot 本身最大也只能是第 k-1 小的元素
         * 如果 pivot = pivot1，那么 nums1[0 .. k/2-1] 都不可能是第 k 小的元素。把这些元素全部 "删除"，剩下的作为新的 nums1 数组
         * 如果 pivot = pivot2，那么 nums2[0 .. k/2-1] 都不可能是第 k 小的元素。把这些元素全部 "删除"，剩下的作为新的 nums2 数组
         * 由于我们 "删除" 了一些元素（这些元素都比第 k 小的元素要小），因此需要修改 k 的值，减去删除的数的个数
         */

        int m = nums1.size();	// 数组 nums1 的大小
        int n = nums2.size();	// 数组 nums2 的大小
        int index1 = 0, index2 = 0;	// 数组 nums1 和 nums2 的偏移

        while (true) {
            // 边界情况
            if (index1 == m) {	// 数组 nums1 为空
                return nums2[index2 + k - 1];	// 返回数组 nums2 中第 k 小的数
            }
            if (index2 == n) {	// 数组 nums2 为空
                return nums1[index1 + k - 1];	// 返回数组 nums1 中第 k 小的数
            }
            if (k == 1) {	// 若 k = 1，则返回两个有序数组中的未排除下标范围内的第一个数
                return min(nums1[index1], nums2[index2]);
            }

            // 正常情况
            int newIndex1 = min(index1 + k / 2 - 1, m - 1);	// 数组 nums1 加上偏移后的新下标
            int newIndex2 = min(index2 + k / 2 - 1, n - 1);		// 数组 nums2 加上偏移后的新下标
            int pivot1 = nums1[newIndex1];	// 数组 nums1 中参与比较的值
            int pivot2 = nums2[newIndex2];	// 数组 nums2 中参与比较的值
            if (pivot1 <= pivot2) {	// 若 A[k/2-1] <= B[k/2-1]
                k -= newIndex1 - index1 + 1;	// 更新 k = k - k / 2
                index1 = newIndex1 + 1;	// 更新数组 nums1 的偏移值
            }
            else {	// 若 B[k/2-1] < A[k/2-1]
                k -= newIndex2 - index2 + 1;	// 更新 k = k - k / 2
                index2 = newIndex2 + 1;	// 更新数组 nums2 的偏移值
            }
        }
    }

    double findMedianSortedArrays(vector& nums1, vector& nums2) {
        int totalLength = nums1.size() + nums2.size();	// 两数组总长
        if (totalLength % 2 == 1) {	// 若总长为奇数
        	// 第 k 小的数即为中位数
            return getKthElement(nums1, nums2, (totalLength + 1) / 2);
        }
        else {	// 若总长为偶数
        	// 中位数 = (第 k 小的数 + 第 [k + 1] 的数) / 2
            return (getKthElement(nums1, nums2, totalLength / 2) + getKthElement(nums1, nums2, totalLength / 2 + 1)) / 2.0;
        }
    }
};

2.Python3

class Solution:
    def findMedianSortedArrays(self, nums1: List[int], nums2: List[int]) -> float:
    	# 此函数作用：寻找两有序数组 nums1 和 nums2 中第 k 小的数并返回该数
        def getKthElement(k):
            """
            - 主要思路：要找到第 k (k>1) 小的元素，那么就取 pivot1 = nums1[k/2-1] 和 pivot2 = nums2[k/2-1] 进行比较
            - 这里的 "/" 表示整除
            - nums1 中小于等于 pivot1 的元素有 nums1[0 .. k/2-2] 共计 k/2-1 个
            - nums2 中小于等于 pivot2 的元素有 nums2[0 .. k/2-2] 共计 k/2-1 个
            - 取 pivot = min(pivot1, pivot2)，两个数组中小于等于 pivot 的元素共计不会超过 (k/2-1) + (k/2-1) <= k-2 个
            - 这样 pivot 本身最大也只能是第 k-1 小的元素
            - 如果 pivot = pivot1，那么 nums1[0 .. k/2-1] 都不可能是第 k 小的元素。把这些元素全部 "删除"，剩下的作为新的 nums1 数组
            - 如果 pivot = pivot2，那么 nums2[0 .. k/2-1] 都不可能是第 k 小的元素。把这些元素全部 "删除"，剩下的作为新的 nums2 数组
            - 由于我们 "删除" 了一些元素（这些元素都比第 k 小的元素要小），因此需要修改 k 的值，减去删除的数的个数
            """
            
            index1, index2 = 0, 0	# 数组 nums1 和 nums2 的偏移
            while True:
                # 特殊情况
                if index1 == m:	# 数组 nums1 为空
                    return nums2[index2 + k - 1]	# 返回数组 nums2 中第 k 小的数
                if index2 == n:	# 数组 nums2 为空
                    return nums1[index1 + k - 1]	# 返回数组 nums1 中第 k 小的数
                if k == 1:	# 若 k = 1，则返回两个有序数组中的未排除下标范围内的第一个数
                    return min(nums1[index1], nums2[index2])

                # 正常情况
                newIndex1 = min(index1 + k // 2 - 1, m - 1)	# 数组 nums1 加上偏移后的新下标
                newIndex2 = min(index2 + k // 2 - 1, n - 1)	# 数组 nums2 加上偏移后的新下标
                pivot1, pivot2 = nums1[newIndex1], nums2[newIndex2]	# 数组 nums1，nums2 中参与比较的值
                if pivot1 <= pivot2:	# 若 A[k/2-1] <= B[k/2-1]
                    k -= newIndex1 - index1 + 1	# 更新 k = k - k / 2
                    index1 = newIndex1 + 1	# 更新数组 nums1 的偏移值
                else:	# 若 B[k/2-1] < A[k/2-1]
                    k -= newIndex2 - index2 + 1	# 更新 k = k - k / 2
                    index2 = newIndex2 + 1	# 更新数组 nums1 的偏移值
        
        m, n = len(nums1), len(nums2)	# 数组 nums1，nums2 的长度
        totalLength = m + n	# 数组 nums1，nums2 的总长度
        if totalLength % 2 == 1:	# 若总长度为奇数
            return getKthElement((totalLength + 1) // 2)	# 第 k 小的数即为中位数
        else:	# 若总长为偶数
        	# 中位数 = (第 k 小的数 + 第 [k + 1] 的数) / 2
            return (getKthElement(totalLength // 2) + getKthElement(totalLength // 2 + 1)) / 2

3.Java

class Solution {
    public double findMedianSortedArrays(int[] nums1, int[] nums2) {
        int length1 = nums1.length, length2 = nums2.length;
        int totalLength = length1 + length2;
        if (totalLength % 2 == 1) {
            int midIndex = totalLength / 2;
            double median = getKthElement(nums1, nums2, midIndex + 1);
            return median;
        } else {
            int midIndex1 = totalLength / 2 - 1, midIndex2 = totalLength / 2;
            double median = (getKthElement(nums1, nums2, midIndex1 + 1) + getKthElement(nums1, nums2, midIndex2 + 1)) / 2.0;
            return median;
        }
    }

    public int getKthElement(int[] nums1, int[] nums2, int k) {
        /* 主要思路：要找到第 k (k>1) 小的元素，那么就取 pivot1 = nums1[k/2-1] 和 pivot2 = nums2[k/2-1] 进行比较
         * 这里的 "/" 表示整除
         * nums1 中小于等于 pivot1 的元素有 nums1[0 .. k/2-2] 共计 k/2-1 个
         * nums2 中小于等于 pivot2 的元素有 nums2[0 .. k/2-2] 共计 k/2-1 个
         * 取 pivot = min(pivot1, pivot2)，两个数组中小于等于 pivot 的元素共计不会超过 (k/2-1) + (k/2-1) <= k-2 个
         * 这样 pivot 本身最大也只能是第 k-1 小的元素
         * 如果 pivot = pivot1，那么 nums1[0 .. k/2-1] 都不可能是第 k 小的元素。把这些元素全部 "删除"，剩下的作为新的 nums1 数组
         * 如果 pivot = pivot2，那么 nums2[0 .. k/2-1] 都不可能是第 k 小的元素。把这些元素全部 "删除"，剩下的作为新的 nums2 数组
         * 由于我们 "删除" 了一些元素（这些元素都比第 k 小的元素要小），因此需要修改 k 的值，减去删除的数的个数
         */

        int length1 = nums1.length, length2 = nums2.length;
        int index1 = 0, index2 = 0;
        int kthElement = 0;

        while (true) {
            // 边界情况
            if (index1 == length1) {
                return nums2[index2 + k - 1];
            }
            if (index2 == length2) {
                return nums1[index1 + k - 1];
            }
            if (k == 1) {
                return Math.min(nums1[index1], nums2[index2]);
            }
            
            // 正常情况
            int half = k / 2;
            int newIndex1 = Math.min(index1 + half, length1) - 1;
            int newIndex2 = Math.min(index2 + half, length2) - 1;
            int pivot1 = nums1[newIndex1], pivot2 = nums2[newIndex2];
            if (pivot1 <= pivot2) {
                k -= (newIndex1 - index1 + 1);
                index1 = newIndex1 + 1;
            } else {
                k -= (newIndex2 - index2 + 1);
                index2 = newIndex2 + 1;
            }
        }
    }
}

4.Golang

func findMedianSortedArrays(nums1 []int, nums2 []int) float64 {
    totalLength := len(nums1) + len(nums2)
    if totalLength%2 == 1 {
        midIndex := totalLength/2
        return float64(getKthElement(nums1, nums2, midIndex + 1))
    } else {
        midIndex1, midIndex2 := totalLength/2 - 1, totalLength/2
        return float64(getKthElement(nums1, nums2, midIndex1 + 1) + getKthElement(nums1, nums2, midIndex2 + 1)) / 2.0
    }
    return 0
}

func getKthElement(nums1, nums2 []int, k int) int {
    index1, index2 := 0, 0
    for {
        if index1 == len(nums1) {
            return nums2[index2 + k - 1]
        }
        if index2 == len(nums2) {
            return nums1[index1 + k - 1]
        }
        if k == 1 {
            return min(nums1[index1], nums2[index2])
        }
        half := k/2
        newIndex1 := min(index1 + half, len(nums1)) - 1
        newIndex2 := min(index2 + half, len(nums2)) - 1
        pivot1, pivot2 := nums1[newIndex1], nums2[newIndex2]
        if pivot1 <= pivot2 {
            k -= (newIndex1 - index1 + 1)
            index1 = newIndex1 + 1
        } else {
            k -= (newIndex2 - index2 + 1)
            index2 = newIndex2 + 1
        }
    }
    return 0
}

func min(x, y int) int {
    if x < y {
        return x
    }
    return y
}

2.划分数组

2.1思路

时间复杂度：O(log(min(m,n)))
空间复杂度：O(1)

二分查找的时间复杂度已经很优秀了，但本题存在时间复杂度更低的一种方法。这里给出推导过程，勇于挑战自己的读者可以进行尝试。

为了使用划分的方法解决这个问题，需要理解「中位数的作用是什么」。在统计中，中位数被用来：

将一个集合划分为两个长度相等的子集，其中一个子集中的元素总是大于另一个子集中的元素。

如果理解了中位数的划分作用，就很接近答案了。

首先，在任意位置 i 将 A 划分成两个部分：

           left_A            |          right_A
    A[0], A[1], ..., A[i-1]  |  A[i], A[i+1], ..., A[m-1]

由于 A 中有 m 个元素， 所以有 m+1 种划分的方法 i∈[0,m]。

其中len(left_A)=i,len(right_A)=m−i.

注意：当 i=0 时，left_A 为空集， 而当 i=m 时, right_A 为空集。

采用同样的方式，在任意位置 j 将 B 划分成两个部分：

           left_B            |          right_B
    B[0], B[1], ..., B[j-1]  |  B[j], B[j+1], ..., B[n-1]

将 left_A 和 left_B 放入一个集合，并将 right_A 和 right_B 放入另一个集合。 再把这两个新的集合分别命名为 left_part 和 right_part：

          left_part          |         right_part
    A[0], A[1], ..., A[i-1]  |  A[i], A[i+1], ..., A[m-1]
    B[0], B[1], ..., B[j-1]  |  B[j], B[j+1], ..., B[n-1]

当 A 和 B 的总长度是偶数时，如果可以确认：

len(left_part)=len(right_part)
max(left_part)≤min(right_part)

那么，{A,B} 中的所有元素已经被划分为相同长度的两个部分，且前一部分中的元素总是小于或等于后一部分中的元素。中位数就是前一部分的最大值和后一部分的最小值的平均值：

median = [max(left_part) + min(right_part)] / 2

当 A 和 B 的总长度是奇数时，如果可以确认：

len(left_part)=len(right_part)+1
max(left_part)≤min(right_part)

那么，{A,B} 中的所有元素已经被划分为两个部分，前一部分比后一部分多一个元素，且前一部分中的元素总是小于或等于后一部分中的元素。中位数就是前一部分的最大值：

median=max(left_part)

第一个条件对于总长度是偶数和奇数的情况有所不同，但是可以将两种情况合并。第二个条件对于总长度是偶数和奇数的情况是一样的。

要确保这两个条件，只需要保证：

（1）i+j=m−i+n−j（当 m+n 为偶数）或 i+j=m−i+n−j+1（当 m+n 为奇数）。
等号左侧为前一部分的元素个数，等号右侧为后一部分的元素个数。
将 i 和 j 全部移到等号左侧，我们就可以得到 i + j = (m + n + 1) / 2。
这里的分数结果只保留整数部分。
（2）0≤i≤m，0≤j≤n。如果我们规定 A 的长度小于等于 B 的长度，即m≤n。
这样对于任意的 i∈[0,m]，都有 j = (m + n + 1) / 2 - i ∈ [0,n]，那么我们在 [0,m] 的范围内枚举 i 并得到 j，就不需要额外的性质了。

如果 A 的长度较大，那么我们只要交换 A 和 B 即可。
如果 m>n ，那么得出的 j 有可能是负数。

（3）B[j−1]≤A[i] 以及 A[i−1]≤B[j]，即前一部分的最大值小于等于后一部分的最小值。

为了简化分析，假设 A[i−1],B[j−1],A[i],B[j] 总是存在。
对于 i=0、i=m、j=0、j=n 这样的临界条件，我们只需要规定 A[−1]=B[−1]=−∞，A[m]=B[n]=∞ 即可。
这也是比较直观的：

当一个数组不出现在前一部分时，对应的值为负无穷，就不会对前一部分的 最大值 产生影响；
当一个数组不出现在后一部分时，对应的值为正无穷，就不会对后一部分的 最小值 产生影响。

所以我们需要做的是：

在 [0,m] 中找到 i，使得：

B[j−1]≤A[i] 且 A[i−1]≤B[j]，其中 j = (m + n + 1) / 2 - i

我们证明它等价于：

在 [0,m] 中找到最大的 i，使得：A[i−1]≤B[j]，其中 j = (m + n + 1) / 2 - i

这是因为：

当 i 从 0∼m 递增时，A[i−1] 递增，B[j] 递减，所以一定存在一个最大的 i 满足 A[i−1]≤B[j]；
如果 i 是最大的，那么说明 i+1 不满足。将 i+1 带入可以得到A[i]>B[j−1]，也就是 B[j−1]，就和我们进行等价变换前 i 的性质一致了（甚至还要更强）。

因此我们可以对 i 在 [0,m] 的区间上进行 二分搜索，找到最大的满足 A[i−1]≤B[j] 的 i 值，就得到了划分的方法。此时，划分前一部分元素中的最大值，以及划分后一部分元素中的最小值，才可能作为就是这两个数组的中位数。

2.2代码

1.C++

class Solution {
public:
    double findMedianSortedArrays(vector& nums1, vector& nums2) {
        if (nums1.size() > nums2.size()) {	// 如果数组 nums1 的长度更长
            return findMedianSortedArrays(nums2, nums1);
        }
        
        int m = nums1.size();	// nums1 的大小
        int n = nums2.size();	// nums2 的大小
        int left = 0, right = m;	// nums1 的左右边界
        // median1：前一部分的最大值
        // median2：后一部分的最小值
        int median1 = 0, median2 = 0;

        while (left <= right) {
            // 前一部分包含 nums1[0 .. i-1] 和 nums2[0 .. j-1]
            // 后一部分包含 nums1[i .. m-1] 和 nums2[j .. n-1]
            int i = (left + right) / 2;	// 二分搜索满足条件的 i，此为初值
            int j = (m + n + 1) / 2 - i;	// 基于 i + j = (m + n + 1) / 2
            
            // nums_im1, nums_i, nums_jm1, nums_j 分别表示 nums1[i-1], nums1[i], nums2[j-1], nums2[j]
            int nums_im1 = (i == 0 ? INT_MIN : nums1[i - 1]);	// i  = 0 的情况，i - 1 为负无穷
            int nums_i = (i == m ? INT_MAX : nums1[i]);	// i = m 的情况，i 正无穷
            int nums_jm1 = (j == 0 ? INT_MIN : nums2[j - 1]);	// j  = 0 的情况，j - 1 为负无穷
            int nums_j = (j == n ? INT_MAX : nums2[j]);	// j = n 的情况，j 正无穷

            if (nums_im1 <= nums_j) {	// nums1[i - 1] <= nums2[j] 的情况
                median1 = max(nums_im1, nums_jm1);	// 前一部分的最大值：max(nums1[i - 1]，nums2[j - 1])
                median2 = min(nums_i, nums_j);	// 后一部分的最小值：min(nums1[i]，nums2[j])
                left = i + 1;	// 更新左边界
            } else {	// nums1[i - 1] > nums2[j] 的情况
                right = i - 1;	// 更新右边界
            }
        }
		// 根据两个数组的总长度的奇偶情况决定最后返回的中位数
        return (m + n) % 2 == 0 ? (median1 + median2) / 2.0 : median1;
    }
};

2.Python3

class Solution:
    def findMedianSortedArrays(self, nums1: List[int], nums2: List[int]) -> float:
        if len(nums1) > len(nums2):	# 如果数组 nums1 的长度更长
            return self.findMedianSortedArrays(nums2, nums1)

        infinty = 2**40	# 定义无穷值
        m, n = len(nums1), len(nums2)	# 数组 nums1 和数组 nums2 的长度
        left, right = 0, m	# 数组 nums1 的左右边界
        # median1：前一部分的最大值
        # median2：后一部分的最小值
        median1, median2 = 0, 0

        while left <= right:	# 二分查找目标 i
            # 前一部分包含 nums1[0 .. i-1] 和 nums2[0 .. j-1]
            # // 后一部分包含 nums1[i .. m-1] 和 nums2[j .. n-1]
            i = (left + right) // 2
            j = (m + n + 1) // 2 - i	# 基于 i + j = (m + n + 1) / 2

            # nums_im1, nums_i, nums_jm1, nums_j 分别表示 nums1[i-1], nums1[i], nums2[j-1], nums2[j]
            nums_im1 = (-infinty if i == 0 else nums1[i - 1])	# 根据 i 的值确定 nums[i - 1] 的值，若 i = 0，则为负无穷
            nums_i = (infinty if i == m else nums1[i])	# 根据 i 的值确定 nums[i] 的值，若 i = m，则为正无穷
            nums_jm1 = (-infinty if j == 0 else nums2[j - 1])	# 根据 j 的值确定 nums[j - 1] 的值，若 j = 0，则为负无穷
            nums_j = (infinty if j == n else nums2[j])	# 根据 j 的值确定 nums[j] 的值，若 j = n，则为正无穷

            if nums_im1 <= nums_j:	# nums1[i - 1] <= nums2[j] 的情况
            	# 前一部分的最大值：max(nums1[i - 1]，nums2[j - 1])，后一部分的最小值：min(nums1[i]，nums2[j])
                median1, median2 = max(nums_im1, nums_jm1), min(nums_i, nums_j)
                left = i + 1	# 更新左边界
            else:
                right = i - 1	# 更新右边界
		# 根据两个数组的总长度的奇偶情况决定最后返回的中位数
        return (median1 + median2) / 2 if (m + n) % 2 == 0 else median1

3.Java

class Solution {
    public double findMedianSortedArrays(int[] nums1, int[] nums2) {
        if (nums1.length > nums2.length) {
            return findMedianSortedArrays(nums2, nums1);
        }

        int m = nums1.length;
        int n = nums2.length;
        int left = 0, right = m;
        // median1：前一部分的最大值
        // median2：后一部分的最小值
        int median1 = 0, median2 = 0;

        while (left <= right) {
            // 前一部分包含 nums1[0 .. i-1] 和 nums2[0 .. j-1]
            // 后一部分包含 nums1[i .. m-1] 和 nums2[j .. n-1]
            int i = (left + right) / 2;
            int j = (m + n + 1) / 2 - i;

            // nums_im1, nums_i, nums_jm1, nums_j 分别表示 nums1[i-1], nums1[i], nums2[j-1], nums2[j]
            int nums_im1 = (i == 0 ? Integer.MIN_VALUE : nums1[i - 1]);
            int nums_i = (i == m ? Integer.MAX_VALUE : nums1[i]);
            int nums_jm1 = (j == 0 ? Integer.MIN_VALUE : nums2[j - 1]);
            int nums_j = (j == n ? Integer.MAX_VALUE : nums2[j]);

            if (nums_im1 <= nums_j) {
                median1 = Math.max(nums_im1, nums_jm1);
                median2 = Math.min(nums_i, nums_j);
                left = i + 1;
            } else {
                right = i - 1;
            }
        }

        return (m + n) % 2 == 0 ? (median1 + median2) / 2.0 : median1;
    }
}

4.Golang

func findMedianSortedArrays(nums1 []int, nums2 []int) float64 {
    if len(nums1) > len(nums2) {
        return findMedianSortedArrays(nums2, nums1)
    }
    m, n := len(nums1), len(nums2)
    left, right := 0, m
    median1, median2 := 0, 0
    for left <= right {
        i := (left + right) / 2
        j := (m + n + 1) / 2 - i
        nums_im1 := math.MinInt32
        if i != 0 {
            nums_im1 = nums1[i-1]
        }
        nums_i := math.MaxInt32
        if i != m {
            nums_i = nums1[i]
        }
        nums_jm1 := math.MinInt32
        if j != 0 {
            nums_jm1 = nums2[j-1]
        }
        nums_j := math.MaxInt32
        if j != n {
            nums_j = nums2[j]
        }
        if nums_im1 <= nums_j {
            median1 = max(nums_im1, nums_jm1)
            median2 = min(nums_i, nums_j)
            left = i + 1
        } else {
            right = i - 1
        }
    }
    if (m + n) % 2 == 0 {
        return float64(median1 + median2) / 2.0
    }
    return  float64(median1)
}

func max(x, y int) int {
    if x > y {
        return x
    }
    return y
}

func min(x, y int) int {
    if x < y {
        return x
    }
    return y
}