离散数学之二元关系

关系概念

a. 集合非空,且他的元素都是有序对;b. 空集

满足上述其一,就称该集合为一个二元关系,记 R R R;若 < x , y > ∈ R \in R <x,y>R,则记 x R y xRy xRy

集合 A A A n n n 个元素,则 A A A 上有 2 n 2 2^{n^2} 2n2 个关系

空关系:空集

全域关系: E A = A × A E_{A} = A \times A EA=A×A

恒等关系: I A = { < x , x > ∣ x ∈ A } I_{A} = \{|x\in A\} IA={<x,x>xA}

关系表示

关系表示:集合表达式、关系矩阵、关系图

如: R = { < 1 , 1 > , < 1 , 2 > , < 2 , 3 > , < 2 , 4 > , < 4 , 2 > } R = \{<1,1>,<1,2>,<2,3>,<2,4>,<4,2>\} R={<1,1>,<1,2>,<2,3>,<2,4>,<4,2>}

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关系的运算

R R R 是二元关系

R R R 中所有有序对的第一元素构成的集合,称作 R R R 的定义域,记 d o m R domR domR

R R R 中所有有序对的第二元素构成的集合,称作 R R R 的值域,记 r a n R ranR ranR

R R R 的定义域和值域的并集,称作 R R R 的域,记 f l d R fldR fldR

R R R 中的第一元素和第二元素对调,称作 R R R 的逆,记 R − 1 R^{-1} R1

R 1 R_1 R1 R 2 R_2 R2 的复合,记 R 1 ◦ R 2 R_1 ◦ R_2 R1R2 R R R 与自己的复合,记 R 2 R^2 R2

关系的性质

离散数学之二元关系_第2张图片

关系的闭包

自反闭包,记 r ( R ) r(R) r(R);对称闭包,记 s ( R ) s(R) s(R);传递闭包,记 t ( R ) t(R) t(R)

在原来的关系上,补有序对,使其构成自反(对称、传递)性质

如: R = { < 1 , 1 > , < 1 , 2 > , < 2 , 3 > , < 2 , 4 > , < 4 , 2 > } R = \{<1,1>,<1,2>,<2,3>,<2,4>,<4,2>\} R={<1,1>,<1,2>,<2,3>,<2,4>,<4,2>}

r ( R ) = { < 1 , 1 > , < 2 , 2 > , < 3 , 3 > , < 4 , 4 > , < 1 , 2 > , < 2 , 3 > , < 2 , 4 > , < 4 , 2 > } r(R) = \{<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<1,2>,<2,3>,<2,4>,<4,2>\} r(R)={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<1,2>,<2,3>,<2,4>,<4,2>}

s ( R ) = { < 1 , 1 > , < 2 , 1 > , < 3 , 2 > , < 1 , 2 > , < 2 , 3 > , < 2 , 4 > , < 4 , 2 > } s(R) = \{<1,1>,<2,1>,<3,2>,<1,2>,<2,3>,<2,4>,<4,2>\} s(R)={<1,1>,<2,1>,<3,2>,<1,2>,<2,3>,<2,4>,<4,2>}

t ( R ) = { < 1 , 1 > , < 1 , 2 > , < 2 , 3 > , < 1 , 3 > , < 2 , 4 > , < 3 , 4 > , < 4 , 2 > } t(R) = \{<1,1>,<1,2>,<2,3>,<1,3>,<2,4>,<3,4>,<4,2>\} t(R)={<1,1>,<1,2>,<2,3>,<1,3>,<2,4>,<3,4>,<4,2>}

等价关系与划分

如果集合 A A A 上的关系 R R R 是自反的、对称的、传递的,则称 R R R A A A 上的等价关系

A A A 中的元素 a a a 的等价类就是在 A A A 中等价于 a a a 的所有元素形成的子集,记 [ x ] R [x]_R [x]R

R R R 的所有等价类作为元素构成的集合称为 A A A 关于 R R R 的商集合,记 A / R A/R A/R

P ( A ) P(A) P(A) 的子集 π \pi π A A A 的划分,则要满足以下条件

  1. π \pi π 的元素都不是空集
  2. π \pi π 的元素的并集等于 A A A
  3. π \pi π 的任何两个元素的交集为空

偏序关系

如果集合 A A A 的关系 R R R 是自反的、反对称的、传递的,则称 R R R A A A 上的偏序关系,记 ⪯ \preceq

集合 A A A 和他的 ⪯ \preceq 构成的集合,称作偏序集,记 < A , ⪯ > <A,>

哈斯图:偏序集中的有序对的第二元素在第一元素上方,第一元素和第二元素且中间没有跨层则连线

极大(小)元:哈斯图中上(下)面没有节点的节点。如果只有唯一极大(小)元,则称为最大(小)

孤立点即是极大元也是极小元

如: A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 12 , 24 } A = \{1,2,3,4,6,8,12,24\} A={1,2,3,4,6,8,12,24} 关于乘除关系的哈斯图

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