离散数学之二元关系
关系概念
a. 集合非空，且他的元素都是有序对；b. 空集
满足上述其一，就称该集合为一个二元关系，记 R R R；若 < x , y > ∈ R
集合 A A A 有 n n n 个元素，则 A A A 上有 2 n 2 2^{n^2} 2n2 个关系
空关系：空集
全域关系： E A = A × A E_{A} = A \times A EA=A×A
恒等关系： I A = { < x , x > ∣ x ∈ A } I_{A} = \{
关系表示
关系表示：集合表达式、关系矩阵、关系图
如： R = { < 1 , 1 > , < 1 , 2 > , < 2 , 3 > , < 2 , 4 > , < 4 , 2 > } R = \{<1,1>,<1,2>,<2,3>,<2,4>,<4,2>\} R={<1,1>,<1,2>,<2,3>,<2,4>,<4,2>}
关系的运算
设 R R R 是二元关系
R R R 中所有有序对的第一元素构成的集合，称作 R R R 的定义域，记 d o m R domR domR
R R R 中所有有序对的第二元素构成的集合，称作 R R R 的值域，记 r a n R ranR ranR
R R R 的定义域和值域的并集，称作 R R R 的域，记 f l d R fldR fldR
R R R 中的第一元素和第二元素对调，称作 R R R 的逆，记 R − 1 R^{-1} R−1
R 1 R_1 R1 与 R 2 R_2 R2 的复合，记 R 1 ◦ R 2 R_1 ◦ R_2 R1◦R2 ； R R R 与自己的复合，记 R 2 R^2 R2
关系的性质
关系的闭包
自反闭包，记 r ( R ) r(R) r(R)；对称闭包，记 s ( R ) s(R) s(R)；传递闭包，记 t ( R ) t(R) t(R)
在原来的关系上，补有序对，使其构成自反（对称、传递）性质
如： R = { < 1 , 1 > , < 1 , 2 > , < 2 , 3 > , < 2 , 4 > , < 4 , 2 > } R = \{<1,1>,<1,2>,<2,3>,<2,4>,<4,2>\} R={<1,1>,<1,2>,<2,3>,<2,4>,<4,2>}
r ( R ) = { < 1 , 1 > , < 2 , 2 > , < 3 , 3 > , < 4 , 4 > , < 1 , 2 > , < 2 , 3 > , < 2 , 4 > , < 4 , 2 > } r(R) = \{<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<1,2>,<2,3>,<2,4>,<4,2>\} r(R)={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<1,2>,<2,3>,<2,4>,<4,2>}
s ( R ) = { < 1 , 1 > , < 2 , 1 > , < 3 , 2 > , < 1 , 2 > , < 2 , 3 > , < 2 , 4 > , < 4 , 2 > } s(R) = \{<1,1>,<2,1>,<3,2>,<1,2>,<2,3>,<2,4>,<4,2>\} s(R)={<1,1>,<2,1>,<3,2>,<1,2>,<2,3>,<2,4>,<4,2>}
t ( R ) = { < 1 , 1 > , < 1 , 2 > , < 2 , 3 > , < 1 , 3 > , < 2 , 4 > , < 3 , 4 > , < 4 , 2 > } t(R) = \{<1,1>,<1,2>,<2,3>,<1,3>,<2,4>,<3,4>,<4,2>\} t(R)={<1,1>,<1,2>,<2,3>,<1,3>,<2,4>,<3,4>,<4,2>}
等价关系与划分
如果集合 A A A 上的关系 R R R 是自反的、对称的、传递的，则称 R R R 是 A A A 上的等价关系
A A A 中的元素 a a a 的等价类就是在 A A A 中等价于 a a a 的所有元素形成的子集，记 [ x ] R [x]_R [x]R
以 R R R 的所有等价类作为元素构成的集合称为 A A A 关于 R R R 的商集合，记 A / R A/R A/R
P ( A ) P(A) P(A) 的子集 π \pi π 是 A A A 的划分，则要满足以下条件
- π \pi π 的元素都不是空集
- π \pi π 的元素的并集等于 A A A
- π \pi π 的任何两个元素的交集为空
偏序关系
如果集合 A A A 的关系 R R R 是自反的、反对称的、传递的，则称 R R R 是 A A A 上的偏序关系，记 ⪯ \preceq ⪯
集合 A A A 和他的 ⪯ \preceq ⪯ 构成的集合，称作偏序集，记 < A , ⪯ >
哈斯图：偏序集中的有序对的第二元素在第一元素上方，第一元素和第二元素且中间没有跨层则连线
极大（小）元：哈斯图中上（下）面没有节点的节点。如果只有唯一极大（小）元，则称为最大（小）
孤立点即是极大元也是极小元
如： A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 12 , 24 } A = \{1,2,3,4,6,8,12,24\} A={1,2,3,4,6,8,12,24} 关于乘除关系的哈斯图
