M-方差、协方差、协方差矩阵

0.目录

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在统计学中，方差是用来度量单个随机变量的离散程度，而协方差则一般用来刻画两个随机变量的相似程度。

1.方差（Variance）

用来度量随机变量X 与其均值E(X) 的偏离程度，方差是各个样本与样本均值的差的平方和的均值：

其中表示样本量，符号表示观测样本的均值

2.协方差（Covariance）

1. 随机变量的协方差
   跟数学期望、方差一样，是分布的一个总体参数。在概率论和统计中，协方差是对两个随机变量联合分布线性相关程度的一种度量。两个随机变量越线性相关，协方差越大，完全线性无关，协方差为零。正相关，负相关。
   
   当X，Y是同一个随机变量时，X与其自身的协方差就是X的方差，可以说方差是协方差的一个特例。
   
   由于随机变量的取值范围不同，两个协方差不具备可比性。如X，Y，Z分别是三个随机变量，想要比较X与Y的线性相关程度强，还是X与Z的线性相关程度强，通过与无法直接比较。定义相关系数为：
   
   通过X的方差与Y的方差var(Y)对协方差归一化，得到相关系数，的取值范围是[−1,1]。1表示完全线性相关，−1表示完全线性负相关，0表示线性无关。线性无关并不代表完全无关，更不代表相互独立。

2. 样本的协方差
   在实际中，通常我们手头会有一些样本，样本有多个属性，每个样本可以看成一个多维随机变量的样本点，我们需要分析两个维度之间的线性关系。协方差及相关系数是度量随机变量间线性关系的参数，由于不知道具体的分布，只能通过样本来进行估计。设样本对应的多维随机变量为，样本集合为。与样本方差的计算相似，a和b两个维度样本的协方差公式为，其中。
   
   这里分母为m−1是因为随机变量的数学期望未知，以样本均值代替，自由度减一。
   
   

3.协方差矩阵（Covariance matrix）

1. 对多维随机变量，我们往往需要计算各维度两两之间的协方差，这样各协方差组成了一个的矩阵，称为协方差矩阵。协方差矩阵是个对称矩阵，对角线上的元素是各维度上随机变量的方差。我们定义协方差矩阵为，这个符号与求和相同，需要根据上下文区分。矩阵内的元素为：
   
   这样这个矩阵为：
   
   
   

2. 样本的协方差矩阵
   与上面的协方差矩阵相同，只是矩阵内各元素以样本的协方差替换。样本集合为。所有样本可以表示成一个n×m的矩阵。我们表示样本的协方差矩阵，与区分。
   
   
   
   公式中m 为样本数量，x¯为样本的均值，是一个列向量，x⋅j 为第 j 个样本，也是一个列向量。
   
   在写程序计算样本的协方差矩阵时，我们通常用后一种向量形式计算。一个原因是代码更紧凑清晰，另一个原因是计算机对矩阵及向量运算有大量的优化，效率高于在代码中计算每个元素。
   
   需要注意的是，协方差矩阵是计算样本不同维度之间的协方差，而不是对不同样本计算，所以协方差矩阵的大小与维度相同。
   
   很多时候我们只关注不同维度间的线性关系，且要求这种线性关系可以互相比较。所以，在计算协方差矩阵之前，通常会对样本进行归一化，包括两部分：

   1. 。即对样本进行平移，使其重心在原点
   2. ，其中是维度的标准差。这样消除了数值大小的影响

   这样，协方差矩阵可以写成：
   
   该矩阵内的元素具有可比性。
   
   

3. 多元正态分布与线性变换

引用

• 超全面的协方差矩阵介绍
• 如何直观地理解「协方差矩阵」？
• 终于明白协方差的意义了