算法第十九期——图论初入门

目录

一、前言

二、图的概念

三、图应用背景

四、图的种类

五、【图算法的复杂度】

六、【图的存储】

六.1、【数组存边】

六.2、【邻接矩阵】

六.3、【邻接表】

六.4、【链式前向星】(一般比赛用不着)

七、【图的遍历和连通性】

七.1、【如何遍历非连通图】

七.2、【用DFS判断连通性】

八、例题全球变暖(2018年省赛,lanqiao0J题号178)

九、欧拉路径

九.1、【欧拉路】

九.2、【欧拉路和欧拉回路是否存在】

九.3、小例题

十、例题(洛谷P7771)

代码


一、前言

本文主要讲了树与图的基本概念,图的存储、DFS遍历,欧拉路与欧拉回路以及相关例题。

二、图的概念

  • 图:由点 (node,或者vertex) 和连接点的边 (edge) 组成。
  • 图是点和边构成的网。(n个点最多有\frac{n^2}{2}条边)
  • 稠密图(边数较多)可以用矩阵来存储

算法第十九期——图论初入门_第1张图片

  • 树 (是一种特殊的图),即连通无环图
  • 树的结点从根开始,层层扩展子树,是一种层次关系,这种层次关系,保证了树上不会出现环路。 
  • 两点之间的路径:有且仅有一条路径。
  • 最近公共祖先:例如K的祖先有E、B、A;F的祖先有B、A。最近公共祖先是B。

算法第十九期——图论初入门_第2张图片

三、图应用背景

  • 地图:路口、道路、过路费…
  • 计算机网络:路由协议
  • 人际关系:“六度空间理论”。世界上任意两个人,最多通过五个中间人就能联系到。把人看成点,人和人之间的关系看成边,这就是一个图的连通性问题。

四、图的种类

  • (1)无向无权图,边没有权值、没有方向;     (用BFS求最短路径)
  • (2〉有向无权图,边有方向、无权值;            (用BFS求最短路径)
  • (3)加权无向图,边有权值,但没有方向;     (Floyd算法和Dijkstra算法)
  • (4)加权有向图;(floyd算法和dijkstra算法)(Floyd算法和Dijkstra算法)
  • (5)有向无环图(Directed Acyclic Graph,DAG)。

算法第十九期——图论初入门_第3张图片  

五、【图算法的复杂度】

  • 和边的数量E、点的数量V相关。
  • O(V+E):几乎是图问题中能达到的最好程度。(树的问题)
  • O(VlogE)、O(ElogV):很好的算法。例如:Dijkstra算法
  • O(v^2)、O(E^2)或更高:不算是好的算法。例如:Floyd算法:O(V^3
  • 例:最短路径(无权:O(V+E)、有权:O(VlogE))、树的LCA(最近公共祖先)

六、【图的存储】

能快速访问:图的存储,能让程序很快定位结点 u 和 v 的边 (u,v)。

  • 数组存边:简单、空间使用最少;无法快速定位
  • 邻接矩阵:简单、空间使用最大;定位最快(适合在稠密图中)
  • 邻接表:空间很少,定位较快
  • 链式前向星:空间更少,定位较快

六.1、【数组存边】

优点:简单、最省空间。

缺点:无法快速定位某条边。

应用:最小生成树的kruskal算法

e=[]
for i in range(m):
    u,v,w=map(int,input().split())
    e.append((u,v,w))

六.2、【邻接矩阵】

二维数组:graph[NUM][NUM]

  • 无向图:graph[i][j] = graph[j][i]
  • 有向图:graph[i][j] != graph[j][i]

权值:graph[i][j] 存结点 i 到 j 的边的权值(边长)。例如 graph[1][2]=3,graph[2][1]=5 等等,用 graph[i][j]=INF 表示 i,j 之间无边

算法第十九期——图论初入门_第4张图片

优点:

  • 适合稠密图
  • 编码非常简短
  • 对边的存储、查询、更新等操作又快又简单

缺点:

  • 存储复杂度O(V^2)太高。V=10000时,空间100M。
  • 不能存储重边。
     

六.3、【邻接表】

  • 应用场景:大稀疏图

优点:

  • 存储效率非常高,存储复杂度 O(V+E)
  • 能存储重边
  • 定位速度较快

算法第十九期——图论初入门_第5张图片

edge=[[] for i in range(N+1)] #定义邻接表
for i in range(N):
    u,v,w=map(int,input().split()) #读入点u,v和边长w
    edge[u].append((v,w))
    edge[v].append((u,w)) #无向边
for v,w in edge[u]:

六.4、【链式前向星】(一般比赛用不着)

空间极端紧张,紧凑的存图方法。

算法第十九期——图论初入门_第6张图片

例:结点2,从点2出发的边有4条(2, 1),(2,3),(2,4),(2,5),邻居是1、3、4、5

(1)定位第1个边。head[2]指向结点2的第1个边,head[2] = 8,存储在edge[8]。
(2)定位其它边。用next参数,指向下一个边。
edge[8].next = 6,下一个边在edge[6]位置;

edge[6].next = 4,下一个边在edge[4]位置;
edge[4].next = 1,下一个边在edge[1]位置;
edge[1].next = -1,-1表示结束。
 

七、【图的遍历和连通性】

  • BFS 和 DFS:图论的基本算法。
  • 图论算法,或者直按用 BFS 和 DFS 来解决问题,或者用其思想建立新的算法。

七.1、【如何遍历非连通图】

想象有个虛拟结点 v,它连接了所有点

算法第十九期——图论初入门_第7张图片

 在主程序中对这些点逐一进行 dfs()

for i in range(n):
    dfs(i)

七.2、【用DFS判断连通性】

判断连通性可以用DFS、BFS和并查集,但使用DFS比较容易!

例:从a点开始,按字典序遍历图

算法第十九期——图论初入门_第8张图片 图注:序号表示遍历的顺序。实线表示遍历点走过的边,虚线表示没有必要再走的边(因为下一点已经走过了)。

  • 对需要的点执行 dfs(),就能找到它连通的点。

找 e 点的连通性:执行 dfs(e)。

算法第十九期——图论初入门_第9张图片

  • 访问过程:见结点上面的数字,顺序是:e, b, d, c, a
  • 递归返回的结果:见结点下面划线数字,顺序是:a, c, d, b, e

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八、例题全球变暖(2018年省赛,lanqiao0J题号178)

连通性问题,计算步骤:

  • 遍历一个连通块(找到这个连通块中所有的' # ',标记已经搜过,不用再搜);
  • 再遍历下一个连通块......
  • 遍历完所有连通块,统计有多少个连通块。

该题目在我写DFS的笔记时就讲过。

见连接:算法第八期——DFS(深度优先搜索)的深入应用(Python)

import sys
sys.setrecursionlimit(65000)
 
def dfs(x,y):
    global vis, m, flag, N
    vis[x][y]=-1
    d=[(-1,0),(1,0),(0,-1),(0,1)]
    if m[x-1][y]=='#' and m[x+1][y]=='#' and \
       m[x][y-1]=='#' and m[x][y+1]=='#':
        flag=1
    for i in range(4):
        dx=x+d[i][0]
        dy=y+d[i][1]
        if dx<0 or dx>=N or dy<0 or dy>=N:
            continue
        if vis[dx][dy]==0 and m[dx][dy]=='#':
            dfs(dx,dy)
        
N=int(input())
vis=[[0]*(N+1) for _ in range(N+1)]
m=[]
for _ in range(N):
    m.append(list(input()))
 
cnt=0
for i in range(1,N-1):
    for j in range(1,N-1):
        if vis[i][j]==0 and m[i][j]=='#':
            flag=0
            dfs(i,j)
            if flag==0:
                cnt+=1
print(cnt)

九、欧拉路径

九.1、【欧拉路】

  • 欧拉路:从图中某个点出发,遍历整个图,图中每条边通过且只通过一次。
  • 欧拉回路:起点和终点相同的欧拉路。

算法第十九期——图论初入门_第11张图片

欧拉路问题:

1)是否存在欧拉路

2)打印出欧拉路(题目可能要求打印字典序最小的欧拉路,因为可能存在多条欧拉路) 

九.2、【欧拉路和欧拉回路是否存在】

先介绍一个概念:

度 (degree):一个点上连接的边的数量,称为这个点的度数。

在无向图中,如果度数是奇数,这个点称为奇点,否则称为偶点

1):无向连通图的判断条件

如果图中的点全都是偶点,则存在欧拉回路;任意一点都可以作为起点和终点。如果只有 2 个奇点,则存在欧拉路,其中一个奇点是起点,另一个是终点。不可能出现有奇数个奇点的无向图。

算法第十九期——图论初入门_第12张图片

2):有向连通图的判断条件 

把一个点上的出度记为 1,入度记为 -1,这个点上所有出度和入度相加,就是它的度数。

一个有向图存在欧拉回路,当且仅当该图所有点的度数为零。

如果只有一个度数为 1 的点,一个度数为 -1的点,其它所有点的度数为0, 那么存在欧拉路径,其中度数为 1 的是起点,度数为 -1 的是终点。

算法第十九期——图论初入门_第13张图片

九.3、小例题

题目描述:有 n 个珠子。每个珠子有两种颜色,分布在珠子的两边。一共有 50 种不同的颜色。把这些珠子串起来,要求两个相邻的珠子接触的那部分颜色相同。问是否能连成一个珠串项链?如果能,打印一种连法。

算法第十九期——图论初入门_第14张图片

  • 答:这一题是典型的无向图求欧拉回路。首先进行建模,可以把珠子抽象成边,颜色抽象成点。判断所有的点是否为偶点,如果存在奇点,则没有欧拉回路;其次,判断所给的图是否连通,不连通也不是欧拉回路。

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【输出一个欧拉回路】

对一个无向连通图做 DFS,就输出了一个欧拉回路。

【DFS与欧拉回路】

DFS的结果是一个欧拉回路。

算法第十九期——图论初入门_第16张图片

回溯的顺序就是一条欧拉回路。

十、例题(洛谷P7771)

原题链接:【模板】欧拉路径 - 洛谷

【题目描述】

求有向图字典序最小的欧拉路径

【输入格式】

第一行 2 个整数 n、m,表示有向图的点数和边数。下面 m 行,每行 2 个整数 u、v,表示存在一个有向边边 u->v

【输出格式】

如果不存在欧拉路径,输出一行 No。

否则输出一行 m+1 个数字,表示字典序最小的欧拉路径。

代码

python题解只能过60%

import sys
def dfs(u):
    i=d[u]          #从点u的第一条边i=0开始
    while i

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