【luogu P4548】歌唱王国（期望）（生成函数 / 思维）（KMP）

歌唱王国

题目链接：luogu P4548

题目大意

多次询问，每次给你一个字符串，然后有 n 种字符，猴子随机打字。
每个字符打出来的概率相同，然后打出一个串使得给出串是它的子串就停止，问你停止的时候打出来的字符串的期望长度。

思路

首先简单说一下用生成函数的做法：
$f_i$ 是长度为 $i$ 结束的概率，$g_i$ 是长度为 $i$ 还没结束的概率。
那一个经典的时候是每个 $f_i$ 贡献倍率是 $i$，那我们要的答案其实就是 $F^{\prime }(1)$

然后列相关的式子。
首先接下来打了一个字符，分成结束了和没有结束。
$xG(i)+1=F(x)+G(x)$

那考虑如果你一直按要求加，加 $m$ 次一定能结束，但是可能在之前就结束了，因为有 border。
于是我们设 $o{p}_i$ 是 $[1,i]$ 是否是这个串的 border：
$G(x)(\frac{1}{n}x{)}^m=\sum _{i=1}^m{a}_{i}F(x)(\frac{1}{n}x{)}^{m-i}$

然后把第一个式子求导：
$x{G}^{\prime }(i)+G(x)=F^{\prime }(x)+G^{\prime }(x)$
$F^{\prime }(x)=(x-1)G^{\prime }(x)+G(x)$

那我们要的是 $F^{\prime }(1)$，直接带入：$F^{\prime }(1)=G(1)$
那也就是要求 $G(1)$，那就利用上另一个式子，也带入：
$G(1)(\frac{1}{n}{)}^m=\sum _{i=1}^m{a}_{i}F(1)(\frac{1}{n}{)}^{m-i}$
$G(1)=\sum _{i=1}^m{a}_{i}F(1)n^i$

考虑 $F(1)$ 是多少，那思考一下就是每一项的系数加起来，那所有长度结束的概率的和不就是 $1$ 嘛。

$ans=F^{\prime }(1)=G(1)=\sum _{i=1}^m{a}_i{n}^i$

不难扩展出当每个字符不一样概率的时候，那每个字符概率是 $p_i$，给出字符串是 $b_i$，那就是：
$ans=F^{\prime }(1)=G(1)=\sum _{i=1}^m{a}_i(\prod _{j=1}^i{p}_{b_i})$

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然后说人类智慧。
这是一个有关鞅（martingale）的方法，不过我们可以把它具象成公平赌博中的博弈。

考虑这么一个赌场，每天选择的字符按顺序是你要求的字符，每天会有一个新人进来，一开始他只有一块钱，他也会按你要求的字符按顺序每天赌，会把全部钱都拿来赌，赔率是 $1:$这个字符出现概率的倒数，赌输了就走。
然后赌场把字符放完就让所有人滚。

首先赔率显然没问题，因为要公平。
那接着你注意到是公平博弈，所以赌场要不赚不亏。
那我们可以看赚钱的人总共赚了多少。
那就是：

$w=\sum _{[1,i]isborder}^m{a}_i(\prod _{j=1}^i{p}_{b_i})$

那赌场要不亏不赚，那进来的钱是多少，是人数，其实也就是字符串长度。
那赌场应该让 $w$ 个人进来，那就是字符串的期望长度就是 $w$。

（在鞅的角度大概是你每个时刻每个赌徒的钱数是一个商，然后所有赌徒钱加起来的值 $M_i$ 也是鞅）
（然后 $T$ 是判断要不要停下来的停时 $\{T=n\}$，然后有个可选停止定理有 $\mathbb{E}{M}_T=\mathbb{E}{M}_0$）
（那一开始 $M_0=0$，所以 $\mathbb{E}T=M_T$）
（小孩子不懂事瞎说的）

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那实现很简单，直接每次建 KMP，然后跳 fail 即可。

代码

#include
#define mo 10000

using namespace std;

const int N = 1e5 + 100;
int n, t, m, a[N], fail[N], cf[N];

int main() {
	scanf("%d %d", &n, &t);
	
	cf[0] = 1; for (int i = 1; i < N; i++) cf[i] = cf[i - 1] * n % mo;
	
	while (t--) {
		scanf("%d", &m);
		for (int i = 1; i <= m; i++) scanf("%d", &a[i]);
		int j = 0;
		for (int i = 2; i <= m; i++) {
			while (j && a[j + 1] != a[i]) j = fail[j];
			if (a[j + 1] == a[i]) j++; fail[i] = j;
		}
		int ans = 0;
		for (int now = m; now; now = fail[now]) (ans += cf[now]) %= mo;
		if (ans < 1000) printf("0");
		if (ans < 100) printf("0");
		if (ans < 10) printf("0");
		printf("%d\n", ans);
	}
	
	return 0;
}