mvp变换矩阵

下文所用到的图都是闫老师的games101中的图，games101的主页：https://sites.cs.ucsb.edu/~lingqi/teaching/games101.html

概述

mvp矩阵分别为模型(model),视图(view),投影(projection)，是图形学中最基本的矩阵变化。模型要经过这三个变换才能在屏幕中正确的显示出来。

基础矩阵变换

基础的向量以及矩阵的计算不再多说，我们直接从矩阵的变换开始。
假设我们有一个点p(x,y),我们想让这个p点移到$(\frac{1}{2}x.\frac{1}{2}y)$的位置。$$x_1=\frac{1}{2}x,y_1=\frac{1}{2}y$$一个图形由无数个点组成，我们把它的点全都移到$\frac{1}{2}的位置处$，也就相当于把这个图形缩小了到了$\frac{1}{2}$,把具体的参数抽象。用$s_1$代表x的方向的缩放，$s_2$代表y方向的缩放：$$x_1=s_1\ast x,y_1=s_2\ast y$$写成矩阵的形式：$$\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{s}_1& 0\\ 0& s_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$$ 类似的还有剪切(shear)变换,a和b是偏移量：$$x_1=s_1\ast x+a\ast y,y_1=s_2\ast y+b\ast x$$写成矩阵的形式$$\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{s}_1& a\\ b& s_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$$
接下来是旋转，在这里借用一下闫老师上课的图来说明一下：

要从左边的图旋转到右边的图，逆时针旋转θ度,假设左上角的点为(0,1)右下角为(1,0),旋转到的地方为图中所示，可以用公式表示
$$\left[\begin{array}{c}-sin\theta \\ cos\theta \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$$$$\left[\begin{array}{c}cos\theta \\ sin\theta \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$$可以分别算出abcd推导出旋转矩阵：$$\left[\begin{array}{cc}cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{array}\right]$$旋转矩阵和缩放矩阵都是对自身进行操作，如果要将图形平移的话，需要引入额外的变量t来表示移动的距离：$$x=ax+t$$如果将3种变换一起使用的话：$$\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{t}_x\\ t_y\end{array}\right]$$但这样就无法用一个矩阵表示所有的变换，所以我们要使用齐次坐标，将变换矩阵升维： [ x 1 y 1 w 1 ] = [ 1 0 t x 0 1 t y 0 0 1 ] [ x y 1 ] = [ x + t x y + t y 1 ] \begin{bmatrix} x_1 \\ y_1 \\w_1\end{bmatrix}\quad=\begin{bmatrix} 1 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & t_y \\0 & 0 & 1\end{bmatrix}\quad \begin{bmatrix} x \\ y \\1\end{bmatrix}\quad=\begin{bmatrix} x+t_x \\ y+t_y \\1\end{bmatrix}\quad ​x1​y1​w1​​ ​= ​100​010​tx​ty​1​ ​ ​xy1​ ​= ​x+tx​y+ty​1​ ​这样对于一个二维的图形可以使用三维矩阵来进行变换，同时由于要用2维向量表示2维空间，我们规定：$$2D的点表示为(x,y,1)$$$$2D的方向表示为(x,y,0)$$这样点之间相减也可以得到方向。
整理之后得到统一的变换矩阵 [ x 1 y 1 1 ] = [ a b t x c d t y 0 0 1 ] [ x y 1 ] \begin{bmatrix} x_1 \\ y_1 \\1\end{bmatrix}\quad=\begin{bmatrix} a & b & t_x \\ c & d & t_y \\0 & 0 & 1\end{bmatrix}\quad \begin{bmatrix} x \\ y \\1\end{bmatrix}\quad ​x1​y1​1​ ​= ​ac0​bd0​tx​ty​1​ ​ ​xy1​ ​矩阵的计算方式是右乘，也就是先从右边计算，注意区分先旋转还是先平移的区别。
对于3D的点(x/w,y/w,z/w)同样表示为4维(x,y,z,w)。3维变换如下: [ x 1 y 1 z 1 1 ] = [ a b c t x d e f t y h i j t z 0 0 0 1 ] [ x y z 1 ] \begin{bmatrix} x_1 \\ y_1 \\z_1\\1\end{bmatrix}\quad=\begin{bmatrix} a & b & c&t_x \\ d & e &f& t_y \\h&i&j& t_z\\0 & 0 &0& 1\end{bmatrix}\quad \begin{bmatrix} x \\ y \\z\\1\end{bmatrix}\quad ​x1​y1​z1​1​ ​= ​adh0​bei0​cfj0​tx​ty​tz​1​ ​ ​xyz1​ ​
通常旋转等计算都是这样，但是这样就很难计算旋转的差值，所以引入了四元数的概念和罗德里格斯旋转公式，在这里就不展开了。
我们可以将这些基础的变换正式的应用到图形学中。

模型矩阵 Model

在3d游戏中，模型都是由美术们单独做好的，然后我们会将模型放到世界中，这一步变化叫做模型变换，完成这个变换的矩阵叫模型矩阵。模型矩阵转换为世界矩阵主要是为了统一坐标系，S代表缩放，R代表旋转，T代表平移
$$M_m=SRT$$

视图矩阵 view

在世界坐标中还会根据摄像机的位置再次设置物体的位置，使摄像机呈现我们想要得到的画面，这一步叫做视图变换，完成这个变换的矩阵叫视图矩阵。
我们假设有一个摄像机，我们从摄像机的角度去观察物体，需要一个观察的起始点$o(x_1,y_1,z_1)$，一个指向物体的方向$g$，一个向上的方向$t$来确定方向。同时$g$叉乘$t$得到第三个方向$e$

首先为了方便且规范，要摄像机移到原点的位置，然后向上的方向为$y$轴，看向物体的方向为$-z$方向，$-z$叉乘$y$得到$x$轴。为了保证看到的东西不变，将物体与摄像机做相同移动，我们把这个移动用矩阵表示出来.
首先要将摄像机从点$o(x_1,y_1,z_1)$ 移动到原点，移动矩阵为 T v = [ 1 0 0 − x 1 0 1 0 − y 1 0 0 1 − z 1 0 0 0 1 ] T_v=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0&-x_1 \\ 0 &1 &0& -y_1 \\0&0&1& -z_1\\0 & 0 &0& 1\end{bmatrix}\quad Tv​= ​1000​0100​0010​−x1​−y1​−z1​1​ ​然后进行旋转，将$g$转到$-z$,剩下两个轴做同样操作，但这样很难计算，所以我们反过来，将原点移到$o$点然后再求出逆矩阵： R v − 1 = [ x g × t x t x − g 0 y g × t y t y − g 0 z g × t z t z − g 0 0 0 0 1 ] R^{-1}_v=\begin{bmatrix} x_{g×t} & x_t & x_{-g}&0 \\ y_{g×t} &y_t & y_{-g}&0 \\z_{g×t}&z_t & z_{-g}&0\\0 & 0 &0& 1\end{bmatrix}\quad Rv−1​= ​xg×t​yg×t​zg×t​0​xt​yt​zt​0​x−g​y−g​z−g​0​0001​ ​而R_v又是正交矩阵，正交矩阵的逆矩阵和转置矩阵是相等的，所以直接转置： R v = [ x g × t y g × t z g × t 0 x t y t z t 0 x − g y − g z − g 0 0 0 0 1 ] R_v=\begin{bmatrix} x_{g×t} & y_{g×t} & z_{g×t}&0 \\ x_t &y_t & z_t &0 \\x_{-g}&y_{-g} & z_{-g}&0\\0 & 0 &0& 1\end{bmatrix}\quad Rv​= ​xg×t​xt​x−g​0​yg×t​yt​y−g​0​zg×t​zt​z−g​0​0001​ ​
先平移后旋转：$$M_v=R_v\ast T_v$$

投影矩阵 Projection

投影变换是将3d物体投射到屏幕上变为我们能看到的2d物体，要让物体适应屏幕大小，简单的说就是把所有屏幕上能出现的物体压缩到-1到1，变成一个2x2大小的box(cvv，canonical view volume ,规则观察体)。首先还是先将物体的中心点，移动到原点，物体的x轴的中心是$\frac{左平面的x值+右平面的x值}{2}$其他两个轴同样原理，从这个点移到原点，所以是负的，写成矩阵如下：
[ 1 0 0 − 左平面的 x 值 + 右平面的 x 值 2 0 1 0 − 上平面的 x 值 + 下平面的 x 值 2 0 0 1 − 前平面的 x 值 + 后平面的 x 值 2 0 0 0 1 ] \begin{bmatrix} 1& 0 & 0&- \frac{左平面的x值+右平面的x值}{2}\\0 &1 & 0 &- \frac{上平面的x值+下平面的x值}{2}\\0&0 & 1&- \frac{前平面的x值+后平面的x值}{2}\\0 & 0 &0& 1\end{bmatrix}\quad ​1000​0100​0010​−2左平面的x值+右平面的x值​−2上平面的x值+下平面的x值​−2前平面的x值+后平面的x值​1​ ​
注意这里的xyz的顺序，因为我们的摄像机是面朝$-z$方向的，此时的坐标系是这样的：

然后要进行原地的缩放，压缩到-1到1，所以还要乘以2得到矩阵： [ 2 r − l 0 0 0 0 2 t − b 0 0 0 0 2 n − f 0 0 0 0 1 ] \begin{bmatrix} \frac{2}{r-l}& 0 & 0&0\\0 & \frac{2}{t-b} & 0 &0\\0&0 & \frac{2}{n-f}&0\\0 & 0 &0& 1\end{bmatrix}\quad ​r−l2​000​0t−b2​00​00n−f2​0​0001​ ​正交投影矩阵如下 M o r t h o = [ 2 r − l 0 0 0 0 2 t − b 0 0 0 0 2 n − f 0 0 0 0 1 ] [ 1 0 0 − 左平面的 x 值 + 右平面的 x 值 2 0 1 0 − 上平面的 x 值 + 下平面的 x 值 2 0 0 1 − 前平面的 x 值 + 后平面的 x 值 2 0 0 0 1 ] M_{ortho}=\begin{bmatrix} \frac{2}{r-l}& 0 & 0&0\\0 & \frac{2}{t-b} & 0 &0\\0&0 & \frac{2}{n-f}&0\\0 & 0 &0& 1\end{bmatrix}\quad \begin{bmatrix} 1& 0 & 0&- \frac{左平面的x值+右平面的x值}{2}\\0 &1 & 0 &- \frac{上平面的x值+下平面的x值}{2}\\0&0 & 1&- \frac{前平面的x值+后平面的x值}{2}\\0 & 0 &0& 1\end{bmatrix}\quad Mortho​= ​r−l2​000​0t−b2​00​00n−f2​0​0001​ ​ ​1000​0100​0010​−2左平面的x值+右平面的x值​−2上平面的x值+下平面的x值​−2前平面的x值+后平面的x值​1​ ​
除了正交投影还有透视投影，透视投影是符合人眼视锥体的，可以产生近大远小，以及无限延伸的平行线会相交的现象。在这门课中没有直接推导，而是把正交投影给”挤“成了透视投影，是在正交投影的基础上进行的推导。
透视矩阵是将物体挤压到视锥体中

视锥体的边上是三角形的边，我们可以用相似三角形来求出边上的点的值。

边上的某一点的值$y^{\prime }=\frac{n}{z}y$,同理$x^{\prime }=\frac{n}{z}x$，此时我们能知道的信息：
[ n z x n z y 未知 1 ] \begin{bmatrix} \frac{n}{z}x \\\frac{n}{z}y \\未知\\1\end{bmatrix}\quad ​zn​xzn​y未知1​ ​可以乘上z： [ n x n y 未知 z ] \begin{bmatrix} nx \\ny \\未知\\z\end{bmatrix}\quad ​nxny未知z​ ​假设从从正交投影变换成透视投影的矩阵为$M_{persp->ortho}$那么我们可以知道这个矩阵作用于这个矩阵可以得到： M p e r s p − > o r t h o [ x y z 1 ] = [ n x n y 未知 z ] M_{persp->ortho}\begin{bmatrix} x \\y \\z\\1\end{bmatrix}\quad=\begin{bmatrix} nx \\ny \\未知\\z\end{bmatrix}\quad Mpersp−>ortho​ ​xyz1​ ​= ​nxny未知z​ ​可以知道 M p e r s p − > o r t h o = [ n 0 0 0 0 n 0 0 ？ ？ ? ? 0 0 1 0 ] M_{persp->ortho}=\begin{bmatrix} n & 0 & 0&0 \\ 0 &n &0& 0 \\？&？&?& ?\\0 & 0 &1& 0\end{bmatrix}\quad Mpersp−>ortho​= ​n0？0​0n？0​00?1​00?0​ ​在做投影变换的时候有个特殊的地方，就是近平面上的点不变，对与近平面上的任意一点都有： [ x y z 1 ] = [ x y n 1 ] = [ n x n y n 2 n ] \begin{bmatrix} x \\y \\z\\1\end{bmatrix}\quad=\begin{bmatrix} x \\y \\n\\1\end{bmatrix}\quad=\begin{bmatrix} nx \\ny \\n^2\\n\end{bmatrix}\quad ​xyz1​ ​= ​xyn1​ ​= ​nxnyn2n​ ​可以得出第三行的前两个数值为0。我们假设剩下的两个是为A,B,即$(0,0,A,B)$,此时在近平面上，第三行的值为$n^2$,可以得到： [ 0 0 A B ] [ x y n 1 ] = n 2 \begin{bmatrix} 0&0 &A&B\end{bmatrix}\quad\begin{bmatrix} x \\y \\n\\1\end{bmatrix}\quad=n^2 [0​0​A​B​] ​xyn1​ ​=n2 $$An+B=n^2$$,对于远平面上的中点$(0,0,f,1)$同理，得到$$Af+B=f^2$$推出 M p e r s p − > o r t h o = [ n 0 0 0 0 n 0 0 0 0 n + f − n f 0 0 1 0 ] M_{persp->ortho}=\begin{bmatrix} n & 0 & 0&0 \\ 0 &n &0& 0 \\0&0&n+f& -nf\\0 & 0 &1& 0\end{bmatrix}\quad Mpersp−>ortho​= ​n000​0n00​00n+f1​00−nf0​ ​记得在使用的时候先转换成正交投影矩阵再应用这个矩阵。
最后来关注一下在正交矩阵挤压成投影矩阵的过程中，中间的点的z值。可以直接假设一个点代入进行计算，假设有一点$(x,y,z,1)$在视锥体里： [ n 0 0 0 0 n 0 0 0 0 n + f − n f 0 0 1 0 ] [ x y z 1 ] = [ n x n y ( n + f ) z − n f z ] = [ x z y z n + f − n f z 1 ] \begin{bmatrix} n & 0 & 0&0 \\ 0 &n &0& 0 \\0&0&n+f& -nf\\0 & 0 &1& 0\end{bmatrix}\quad\begin{bmatrix} x\\ y \\z\\1\end{bmatrix}\quad=\begin{bmatrix} nx\\ ny \\(n+f)z-nf\\z\end{bmatrix}\quad=\begin{bmatrix} \frac{x}{z}\\\frac{y}{z} \\n+f-\frac{nf}{z}\\1\end{bmatrix}\quad ​n000​0n00​00n+f1​00−nf0​ ​ ​xyz1​ ​= ​nxny(n+f)z−nfz​ ​= ​zx​zy​n+f−znf​1​ ​可以分别代入n,f的值分别演算一下。$f(z)=n+f-\frac{nf}{z}在n<z<f的范围内是大于z的，所以其中点的z值被推向远平面$

通过fov求出需要的值

定义透视投影需要用到宽高比(Aspect ratio)和垂直的可视角度(fovY),有这两个值可以推导出其他我们需要的值、


$$tan\frac{fovY}{2}=\frac{t}{|n|}$$$$aspect=\frac{r}{t}$$
可以通过这几个变量把几个面的值都求出来

关于NDC坐标

NDC坐标是归一化的设备坐标(Normalized Device Coordinates)，实际上为了方便计算我们将点换到齐次坐标系，在进行透视投影之后，还要做透视除法，将xyzw都÷w，使最后一个值为1，回到笛卡尔坐标系。