FuYongqing0412

六轴UR机械臂标准DH正逆运动学公式推导+代码验证C++

DH参数介绍

正运动学

代码

测试

逆运动学

变换矩阵

关节1的求解

关节5的求解

关节6的求解

关节3的求解

关节2的求解

关节4的求解

正逆解完整代码

测试结果

不足之处

一些有用链接

最近做项目需要用到UR5的逆解，在网上找资料自己实现碰到一堆坑，现在终于完美解决。本文用的是标准DH参数，包含从末端位姿变换到关节角的全部过程，网上许多教程都是用正运动学算出的变换矩阵进行逆运动学求解，在我的项目中完全没有办法应用。其中UR末端姿态有两种表示方法，这也是排查了好久才找到的问题。现在将完整过程分享出来，希望可以帮到和我遇到同样问题的小伙伴。URsim使用及安装可参考我另一篇博客URSim+Unity联合仿真以及Socket通信_sinat_32804425的博客-CSDN博客

（改进DH参数方法可参考UR3机械臂正逆运动学详解及c++完整代码_Scolin丶-CSDN博客_ur3机械臂)

DH参数介绍

改进DH

图源《机器人学导论》

参考Universial robot 运动学_Peace-CSDN博客，此处是为了方便对比。

第i个坐标系固连在第i个连杆的左端。
轴i固连于i-1杆，在i-1杆的右端。
i坐标系固定在i杆上，随i杆转动。

每个连杆有四个参数，第i个连杆：

ai = (沿着Xi轴，从Zi移动到Zi+1的距离) ，即连杆i的抽象长度。
αi= (从Zi旋转到Zi+1的角度，转轴为Xi，右手定则)，即连杆i与连杆i+1的夹角。
di = (沿着Zi轴，从Xi-1移动至Xi的距离)， Xi-1和Xi都是垂于Zi的。
θi = (绕Zi轴，从Xi-1旋转至Xi的角度)，即连杆i-1与连杆i的夹角。

前两个参数的作用是建立 i系与i+1系的关系；

后两个参数的作用是建立i-1系与i系的关系；

标准DH

图源https://en.wikipedia.org/wiki/Denavit%E2%80%93Hartenberg_parameters

坐标系的建立：

z轴指向旋转轴。

基座的x轴可以自由选择，之后的x轴与两个连续z轴的公垂线共线。

原点选在公垂线与新z轴的交点，注意不在关节的中心，可以在空间的任何地方。

y轴由右手定则给出。

有了这些关节坐标系，就可以得到由以下四个变量决定的关节之间的转换：

di : 沿着Zi-1轴，原点Oi-1至公垂线的距离。
θi : 绕Zi-1轴，从Xi-1旋转至Xi的角度。
ai : 沿着Xi轴，从Zi-1移动至Zi的距离，即连杆Linki关于Zi-1的旋转半径。
αi : 绕Xi轴，从Zi-1旋转到Zi的角度。

特殊情况：如果Z轴是平行的，那选择最方便的那个di。此时的αi一定是0。

辅助理解动画

https://www.youtube.com/watch?v=rA9tm0gTln8https://www.youtube.com/watch?v=rA9tm0gTln8

下图是官方给的UR机械臂坐标系位置

UR5的DH参数如下表所示，其他型号可以参考Universal Robots - DH Parameters for calculations of kinematics and dynamics

正运动学

已知关节角度求变换矩阵T，根据标准DH参数法，可以得到坐标系i-1到i的变换矩阵 ${ }_{i}^{i-1} T=$

$\left[\begin{array}{cccc} \cos \theta_{i} & -\sin \theta_{i} \cos \alpha_{i} & \sin \theta_{i} \sin \alpha_{i} & a_{i} \cos \theta_{i} \\ \sin \theta_{i} & \cos \theta_{i} \cos \alpha_{i} & -\cos \theta_{i} \sin \alpha_{i} & a_{i} \sin \theta_{i} \\ 0 & \sin \alpha_{i} & \cos \alpha_{i} & d_{i} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]$

所以正运动学可以求得 ${ }_{6}^{0} T={ }_{1}^{0} T \times{ }_{2}^{1} T \times{ }_{3}^{2} T \times{ }_{4}^{3} T \times{ }_{5}^{4} T \times{ }_{6}^{5} T$ ，只要知道六个关节角，就可以求出变换矩阵

${ }_{6}^{0} T=\left[\begin{array}{cccc} n_{x} & o_{x} & a_{x} & p_{x} \\ n_{y} & o_{y} & a_{y} & p_{y} \\ n_{z} & o_{z} & a_{z} & p_{z} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]$

代码

可自行下载，链接如下：

https://download.csdn.net/download/sinat_32804425/70045943

测试

在URSim上打开UR5的虚拟机，进入到move界面，选择Base基座坐标系，随意设置一个姿态，将六个关节角输入，可以检验正运动学计算正确与否。

运行正运动学程序，输入：93.14 -62.68 108.27 -135.56 -66.46 15.59

将变换矩阵T前三行打印出来，可以看到最后的位置与URSim中TCP的三个位置相同。

逆运动学

逆运动学就是已知末端的位姿，求六个关节角的过程，一般都会求出八组解，但是只有一组是最优解，通常试两次就可确定哪一组。

变换矩阵

根据末端执行器的位姿（绕静轴的姿态），求解末端坐标系到基座坐标系的变换矩阵。这里推荐一个视频，可以帮助理解绕静轴和绕动轴两种变换方式【机械臂运动学教程】机械臂+旋转矩阵+变换矩阵+DH+逆解+轨迹规划+机器人+教程_哔哩哔哩_bilibili

在URSim中也有两种表示位姿的方式，一种是Rotation Vector，另一种是RPY。所谓RPY就是绕参考坐标系，绕定轴X（Roll）—Y（Pitch）—Z（Yaw）旋转，旋转矩阵左乘。我们计算变换矩阵一定要采用RPY[rad]这种模式下的姿态角，要不然始终会有问题。RPY是绕静轴的一种旋转方式，理解可参考机器人RPY角和Euler角 -- 基本公式_lyhbkz的博客-CSDN博客_rpy和【机器人运动学/姿态角】欧拉角和RPY角_Amanda1m的博客-CSDN博客_rpy角

我这里采用绕静轴RPY的公式来计算旋转矩阵

则位姿为 $\left[p_{x}, p_{y}, p_{z}, \gamma, \beta, \alpha\right]$ 时，旋转矩阵可以由如下公式计算得出。

${ }_{6}^{0} R=\left[\begin{array}{lll} n_{x} & o_{x} & a_{x} \\ n_{y} & o_{y} & a_{y} \\ n_{z} & o_{z} & a_{z} \end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ccc} c \alpha c \beta & c \alpha s \beta s \gamma-s \alpha c \gamma & c \alpha s \beta c \gamma+s \alpha s \gamma \\ s \alpha c \beta & s \alpha s \beta s \gamma+c \alpha c \gamma & s \alpha s \beta c \gamma-c \alpha s \gamma \\ -s \beta & c \beta s \gamma & c \beta c \gamma \end{array}\right]$

至此得到了变换矩阵T，下面开始逐步计算关节角。下列公式参考UR5型六轴机械臂运动学推导及效果演示 - 古月居

求逆解时一定要用atan2()来求解，Eigen库中自带这个函数。原理可参考UR机械臂正逆运动学求解_fengyu19930920的博客-CSDN博客_机械臂正逆运动学

关节1的求解

已知

${ }_{6}^{0} T=\left[\begin{array}{cccc} n_{x} & o_{x} & a_{x} & p_{x} \\ n_{y} & o_{y} & a_{y} & p_{y} \\ n_{z} & o_{z} & a_{z} & p_{z} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]={ }_{1}^{0} T \cdot{ }_{2}^{1} T \cdot{ }_{3}^{2} T \cdot{ }_{4}^{3} T \cdot{ }_{5}^{4} T \cdot{ }_{6}^{5} T$

则 ${ }_{1}^{0} T^{-1} \cdot T \cdot{ }_{6}^{5} T^{-1}={ }_{5}^{1} T={ }_{2}^{1} T \cdot{ }_{3}^{2} T \cdot{ }_{4}^{3} T \cdot{ }_{5}^{4} T$

${ }_{1}^{0} T^{-1}=\left[\begin{array}{cccc} \cos \theta_{1} & \sin \theta_{1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -d_{1} \\ \sin \theta_{1} & -\cos \theta_{1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right],{ }_{6}^{5} T^{-1}=\left[\begin{array}{cccc} \cos \theta_{6} & \sin \theta_{6} & 0 & 0 \\ -\sin \theta_{6} & \cos \theta_{6} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -d_{6} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]$

所以 ${ }_{1}^{0} T^{-1} \cdot T \cdot{ }_{6}^{5} T^{-1}=$

$\left[\begin{array}{cccc} c_{6}\left(n_{x} c_{1}+n_{y} s_{1}\right)-s_{6}\left(o_{x} c_{1}+o_{y} s_{1}\right) & s_{6}\left(n_{x} c_{1}+n_{y} s_{1}\right)+c_{6}\left(o_{x} c_{1}+o_{y} s_{1}\right) & a_{x} c_{1}+a_{y} s_{1} & p_{x} c_{1}-d_{6}\left(a_{x} c_{1}+a_{y} s_{1}\right)+p_{y} s_{1} \\ n_{x} c_{6}-o_{z} s_{6} & o_{z} c_{6}+n_{z} s_{6} & a_{z} & p_{z}-d_{1}-a_{z} d_{6} \\ s_{6}\left(o_{y} c_{1}-o_{x} s_{1}\right)-c_{6}\left(n_{y} c_{1}-n_{x} s_{1}\right) & -s_{6}\left(n_{y} c_{1}-n_{x} s_{1}\right)-c_{6}\left(o_{y} c_{1}-o_{x} s_{1}\right) & a_{x} s_{1}-a_{y} c_{1} & -p_{y} c_{1}+d_{6}\left(a_{y} c_{1}-a_{x} s_{1}\right)+p_{x} s_{1} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]$

而

${ }_{2}^{1} T \cdot{ }_{3}^{2} T \cdot{ }_{4}^{3} T \cdot{ }_{5}^{4} T=\left[\begin{array}{cccc} c_{234} c_{5} & -s_{234} & -c_{234} s_{5} & a_{3} c_{23}+a_{2} c_{2}+d_{2} s_{234} \\ s_{234} c_{5} & c_{234} & -s_{234} s_{5} & a_{3} s_{23}+a_{2} s_{2}-d_{5} c_{234} \\ s_{5} & 0 & c_{5} & d_{4} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]$

根据两式第三行第四列相等，则可以得到

$d_{4}=-p_{y} c_{1}+d_{6}\left(a_{y} c_{1}-a_{x} s_{1}\right)+p_{x} s_{1}$

另 $m=d_{6} a_{y}-p_{y}, n=a_{x} d_{6}-p_{x}$ ，有

$\theta_{1}=a \tan 2(m, n)-a \tan 2\left(d_{4}, \pm \sqrt{m^{2}+n^{2}-d_{4}^{2}}\right)$

共两组解。

关节5的求解

根据两式第三行第三列相等，有 $c_{5}=a_{x} s_{1}-a_{y} c_{1}$ ，则

$\theta_{5}=\pm \arccos \left(a_{x} s_{1}-a_{y} c_{1}\right)$

至此共四组解。

关节6的求解

根据两式第三行第三列相等，有 $s_{5}=s_{6}\left(o_{y} c_{1}-o_{x} s_{1}\right)-c_{6}\left(n_{y} c_{1}-n_{x} s_{1}\right)$

令 $m m=n_{x} s_{1}-n_{y} c_{1}, \quad n n=o_{x} s_{1}-o_{y} c_{1}$ ，有

$\theta_{6}=a \tan 2(m m, n n)-a \tan 2\left(s_{5}, 0\right)$

至此共四组解。

关节3的求解

由 ${ }_{1}^{0} T^{-1} \cdot T \cdot{ }_{6}^{5} T^{-1} \cdot{ }_{5}^{4} T^{-1}={ }_{4}^{1} T={ }_{2}^{1} T \cdot{ }_{3}^{2} T \cdot{ }_{4}^{3} T$ ，而且

${ }_{5}^{4} T^{-1}=\left[\begin{array}{cccc} \cos \theta_{5} & \sin \theta_{5} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & d_{5} \\ -\sin \theta_{5} & \cos \theta_{5} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]$

所以有 ${ }_{1}^{0} T^{-1} \cdot T \cdot{ }_{6}^{5} T^{-1} \cdot{ }_{5}^{4} T^{-1}=$

$\left[\begin{array}{cc} c_{5}\left(c_{6}\left(n_{x} c_{1}+n_{y} s_{1}\right)-s_{6}\left(o_{x} c_{1}+o_{y} s_{1}\right)\right)-s_{5}\left(a_{x} c_{1}+a_{y} s_{1}\right) & s_{5}\left(c_{6}\left(n_{x} c_{1}+n_{y} s_{1}\right)-s_{6}\left(o_{x} c_{1}+o_{y} s_{1}\right)\right)+c_{5}\left(a_{x} c_{1}+a_{y} s_{1}\right) \\ c_{5}\left(n_{x} c_{6}-o_{z} s_{6}\right)-s_{5} a_{z} & s_{5}\left(n_{x} c_{6}-o_{z} s_{6}\right)+c_{5} a_{z} \\ c_{5}\left(s_{6}\left(o_{y} c_{1}-o_{x} s_{1}\right)-c_{6}\left(n_{y} c_{1}-n_{x} s_{1}\right)\right)-s_{5}\left(a_{x} s_{1}-a_{y} c_{1}\right) & s_{5}\left(s_{6}\left(o_{y} c_{1}-o_{x} s_{1}\right)-c_{6}\left(n_{y} c_{1}-n_{x} s_{1}\right)\right)+c_{5}\left(a_{x} s_{1}-a_{y} c_{1}\right) \\ 0 & 0 \end{array}\right.$ $\left.\begin{array}{cc} -\left(s_{6}\left(n_{x} c_{1}+n_{y} s_{1}\right)+c_{6}\left(o_{x} c_{1}+o_{y} s_{1}\right)\right) & d_{5}\left(s_{6}\left(n_{x} c_{1}+n_{y} s_{1}\right)+c_{6}\left(o_{x} c_{1}+o_{y} s_{1}\right)\right)+p_{x} c_{1}-d_{6}\left(a_{x} c_{1}+a_{y} s_{1}\right)+p_{y} s_{1} \\ -\left(o_{z} c_{6}+n_{z} s_{6}\right) & d_{5}\left(o_{z} c_{6}+n_{z} s_{6}\right)+p_{z}-d_{1}-a_{z} d_{6} \\ s_{6}\left(n_{y} c_{1}-n_{x} s_{1}\right)+c_{6}\left(o_{y} c_{1}-o_{x} s_{1}\right) & d_{5}\left(-s_{6}\left(n_{y} c_{1}-n_{x} s_{1}\right)-c_{6}\left(o_{y} c_{1}-o_{x} s_{1}\right)\right)-p_{y} c_{1}+d_{6}\left(a_{y} c_{1}-a_{x} s_{1}\right)+p_{x} s_{1} \\ 0 & 1 \end{array}\right]$

因为

${ }_{2}^{1} T \cdot{ }_{3}^{2} T \cdot{ }_{4}^{3} T=\left[\begin{array}{cccc} c_{234} & 0 & s_{234} & a_{3} c_{23}+a_{2} c_{2} \\ s_{234} & 0 & -c_{234} & a_{3} s_{23}+a_{2} s_{2} \\ 0 & 1 & 0 & d_{4} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]$

根据两式第一行第四列相等，第二行第四列相等，有

$\begin{aligned} &d_{5}\left(s_{6}\left(n_{x} c_{1}+n_{y} s_{1}\right)+c_{6}\left(o_{x} c_{1}+o_{y} s_{1}\right)\right)+p_{x} c_{1}-d_{6}\left(a_{x} c_{1}+a_{y} s_{1}\right)+p_{y} s_{1}=a_{3} c_{23}+a_{2} c_{2} \\ &d_{5}\left(o_{z} c_{6}+n_{z} s_{6}\right)+p_{z}-d_{1}-a_{z} d_{6}=a_{3} s_{23}+a_{2} s_{2} \end{aligned}$

令

$m m m=d_{5}\left(s_{6}\left(n_{x} c_{1}+n_{y} s_{1}\right)+c_{6}\left(o_{x} c_{1}+o_{y} s_{1}\right)\right)+p_{x} c_{1}-d_{6}\left(a_{x} c_{1}+a_{y} s_{1}\right)+p_{y} s_{1}$

$\text { nnn }=d_{5}\left(o_{z} c_{6}+n_{z} s_{6}\right)+p_{z}-d_{1}-a_{z} d_{6}$

则有

$\theta_{3}=\pm \arccos \left(\frac{m m m^{2}+n n n^{2}-a_{2}^{2}-a_{3}^{2}}{2 a_{2} a_{3}}\right)$

至此共八组解。

关节2的求解

由上述推导，可令

$s_{2}=\frac{\left(a_{3} c_{3}+a_{2}\right) n n n-a_{3} s_{3} m m m}{a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+2 a_{2} a_{3} c_{3}}, \quad c_{2}=\frac{m m m+a_{3} s_{3} s_{2}}{a_{3} c_{3}+a_{2}}$

所以

$\theta_{2}=a \tan 2\left(s_{2}, c_{2}\right)$

至此共八组解。

关节4的求解

由 ${ }_{1}^{0} T^{-1} \cdot T \cdot{ }_{6}^{5} T^{-1}={ }_{5}^{1} T={ }_{2}^{1} T \cdot{ }_{3}^{2} T \cdot{ }_{4}^{3} T \cdot{ }_{5}^{4} T$ ，可设

$\begin{gathered} -s_{234}=s_{6}\left(n_{x} c_{1}+n_{y} s_{1}\right)+c_{6}\left(o_{x} c_{1}+o_{y} s_{1}\right) \\ c_{234}=o_{z} c_{6}+n_{z} s_{6} \end{gathered}$

所以

$\theta_{4}=a \tan 2\left(-s_{6}\left(n_{x} c_{1}+n_{y} s_{1}\right)-c_{6}\left(o_{x} c_{1}+o_{y} s_{1}\right), o_{z} c_{6}+n_{z} s_{6}\right)-\theta_{2}-\theta_{3}$

总共八组解。

正逆解完整代码

按照上面公式，即可完美求解。代码链接如下：

https://download.csdn.net/download/sinat_32804425/70047254

测试结果

输入：0.17269 -0.55555 0.11106 3.025 0.395 2.901

结果如下，可以看出，第三组与URSim中的完美匹配。

不足之处

没有考虑奇异解的特殊情况，后面需要的话会再进行研究。

其他UR构型的机械臂换一下DH参数应该也是也可用这种方法来求解的。有问题的话可以评论区交流~~

一些有用链接

UR运动学GitHub代码

https://github.com/ros-industrial/universal_robot/blob/kinetic-devel/ur_kinematics/src/ur_kin.cpp

手册下载

UR Download | Support Site | Universal Robots

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CUDA编程（一）：GPU计算与CUDA编程简介GPU计算GPU硬件资源GPU软件资源GPU存储资源CUDA编程GPU计算NVIDIA公司发布的CUDA是建立在GPU上的一个通用并行计算平台和编程模型，CUDA编程可以利用GPU的并行计算引擎来更加高效地解决比较复杂的计算难题。GPU的并行计算最成功的一个应用就是深度学习领域。GPU通常不作为一个独立运行的计算平台，而需要与CPU协同工作，它可以看
【Proteus仿真】【51单片机】多功能计算器系统设计 qq_215138327 proteus 51单片机嵌入式硬件
目录一、主要功能二、使用步骤三、硬件资源四、软件设计五、实验现象联系作者一、主要功能1、LCD1602液晶显示2、矩阵按键3、加减乘除，开方运算4、带符号运算5、最大999*999二、使用步骤基于51单片机多功能计算器包含：程序，仿真，文档等三、硬件资源1、51单片机核心模块2、按键模块3、LCD1602显示模块四、软件设计#include#include#include#include#incl
GPU编程与CUDA Nice_cool. Cuda与TensorRT c++
CUDA编程并行计算整体流程从主机端申请内存，把内存部分的内容拷贝到设备端在设备端的核函数计算从设备端拷贝到主机端，并且释放内存显存主机端：cpu设备端：gpu核函数：在gpu上运行的函数CUDA内存模型CUDA中的内存模型分为以下几个层次（硬件）：•每个线程处理器（SP）都用自己的registers（寄存器）•每个SP都有自己的localmemory（局部内存），register和localme
C++ 中面向对象编程如何处理对象的状态存储与恢复午言若 c++
在C++的面向对象编程中，处理对象的状态存储与恢复通常涉及以下几个关键方面：1.成员变量对象的状态通常通过其成员变量（也称为属性或字段）来存储。这些成员变量可以持有各种类型的数据，包括基本数据类型（如int、float等）、指针、其他对象或类的实例等。2.构造函数与析构函数构造函数：在对象创建时初始化成员变量。这可以确保对象在诞生时就处于一个已知和有效的状态。析构函数：在对象销毁时执行清理操作。虽
C++中的继承性及其好处午言若 c++
继承性是面向对象编程中的一个重要特性，它允许一个类（称为子类或派生类）继承另一个类（称为父类或基类）的属性和方法。继承的主要目的是实现代码的重用和扩展。通过继承，可以在已有类的基础上创建新的类，新类可以继承父类的成员变量和成员函数，同时还可以添加自己的新成员。这样可以减少代码的重复编写，提高开发效率，并且使代码更加易于维护和扩展。C++中实现继承的方式在C++中，使用冒号（:）来表示继承关系。以下
directx12 3d游戏开发了解函数名和类名规律，提高开发效率云缘若仙 directx12 3d 算法
类常用：形式为XM+“✳✳✳✳✳✳”XMVECTOR：XM+VECTOR向量类XMMATRIX:XMMATRIX矩阵类前加F：FXMVECTORF+XM+VECTOR前3个XMVECTOR参数前加C：CXMVECTORC+XM+VECTOR其余的XMVECTOR参数其他类定义在：DirectXMath库结构函数常用：形式为XM+“✳✳✳✳✳✳”+“✳✳✳✳✳✳”+“✳✳✳✳✳✳”XMVectorA
面向对象——多态、封装、继承、组合 Say-hai C++c++开发语言
面向对象2.1多态的实现方式多态性主要通过两种方式实现：编译时多态（静态多态）和运行时多态（动态多态)静态多态：函数重载和运算符重载实现。->编译期决定调用哪个函数函数重载：同一个作用域内存在多个同名函数，但它们的参数类型或数量不同；根据参数编译器决定调用哪个函数运算符重载：允许定义大部分C++内置的运算符，使得它们可以根据操作数的类型执行不同的操作。动态多态：通过虚函数和继承实现。->运行时决定
【MFC】C++所有控件随窗口大小全自动等比例缩放源码(控件内字体、列宽等未调整) 20250124 小黄人软件 c++mfc 开发语言 UI
MFC界面全自动等比例缩放1.在初始化里枚举每个控件记录所有控件rect2.在OnSize里，根据当前窗口和之前保存的窗口的宽高求比例x、y3.枚举每个控件，根据比例x、y调整控件上下左右,并移动到新rectstructControlInfo{CWnd*pControl;CRectoriginalRect;};std::vectorm_controls;BOOLCProductionTesting
咱们一起学C++第二十七篇：之C++程序结构与“Hello, World!”深度剖析一杯年华@编程空间咱们一起学习C++visual studio vim emacs docker vscode
咱们一起学C++第二十七篇：之C++程序结构与“Hello,World!”深度剖析在C++学习的征程中，我们共同探索，不断深入理解这门语言的奥秘。此前，我们学习了编写第一个C++程序所需的基础知识，包括iostream类的使用和命名空间的初步概念。今天，我们将进一步剖析C++程序的基本结构，详细解读经典的“Hello,World!”程序，深入理解其背后的原理和C++语言的特性，这对于我们掌握C++
9. 马科维茨资产组合模型+FF5+GARCH风险模型优化方案（理论+Python实战） AI量金术师金融资产组合模型进化论 python 开发语言金融人工智能机器学习算法
目录0.承前1.核心风险函数代码讲解1.1数据准备和初始化1.2单资产GARCH建模1.3模型拟合和波动率预测1.4异常处理机制1.5相关系数矩阵计算1.6构建波动率矩阵1.7计算协方差矩阵1.8确保矩阵对称性1.9确保矩阵半正定性1.10格式转换和返回1.11calculate_covariance_matrix函数汇总2.代码汇总3.反思3.1不足之处3.2提升思路4.启后0.承前本篇博文是对
从脑科学角度分析高效学习方法 ka__ka__ 经历思考学习方法
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语言模型与向量模型：深入解析与实例剖析 ♢.＊语言模型人工智能自然语言处理
亲爱的小伙伴们，在求知的漫漫旅途中，若你对深度学习的奥秘、Java与Python的奇妙世界，亦或是读研论文的撰写攻略有所探寻，那不妨给我一个小小的关注吧。我会精心筹备，在未来的日子里不定期地为大家呈上这些领域的知识宝藏与实用经验分享。每一个点赞，都如同春日里的一缕阳光，给予我满满的动力与温暖，让我们在学习成长的道路上相伴而行，共同进步✨。期待你的关注与点赞哟！在自然语言处理领域，语言模型和向量模型
240. 搜索二维矩阵|| cccc楚染rrrr LeetCode 矩阵线性代数 java 算法数据结构
参考题解：https://leetcode.cn/problems/search-a-2d-matrix-ii/solutions/2361487/240-sou-suo-er-wei-ju-zhen-iitan-xin-qin-7mtf将矩阵旋转45度，可以看作一个二叉搜索树。假设以左下角元素为根结点，当target比root大的时候，则舍弃当前列，右移一列；当target比root小的时候，则
《 C++ 点滴漫谈：二十四》深入 C++ 变量与类型的世界：高性能编程的根基 Lenyiin 编程显微镜 c++变量与类型 Lenyiin
摘要本文深入探讨了C++中变量与类型的方方面面，包括变量的基本概念、基本与复合数据类型、动态类型与内存管理、类型推导与模板支持，以及类型系统的高级特性。通过全面的理论讲解与实际案例分析，展示了C++类型系统的强大灵活性与实践价值。从智能指针的内存管理到模板的泛型编程支持，再到类型推导的简洁性，C++提供了多样化的工具，满足不同场景需求。文章总结了类型选择与管理的最佳实践，旨在帮助开发者编写高效、安
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标准DH

有了这些关节坐标系，就可以得到由以下四个变量决定的关节之间的转换：

正运动学

代码

测试

逆运动学

变换矩阵

求逆解时一定要用atan2()来求解，Eigen库中自带这个函数。原理可参考UR机械臂正逆运动学求解_fengyu19930920的博客-CSDN博客_机械臂正逆运动学

关节1的求解

关节5的求解

关节6的求解

关节3的求解

关节2的求解

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正逆解完整代码

测试结果

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