FuYongqing0412

六轴UR机械臂标准DH正逆运动学公式推导+代码验证C++

DH参数介绍

正运动学

代码

测试

逆运动学

变换矩阵

关节1的求解

关节5的求解

关节6的求解

关节3的求解

关节2的求解

关节4的求解

正逆解完整代码

测试结果

不足之处

一些有用链接

最近做项目需要用到UR5的逆解，在网上找资料自己实现碰到一堆坑，现在终于完美解决。本文用的是标准DH参数，包含从末端位姿变换到关节角的全部过程，网上许多教程都是用正运动学算出的变换矩阵进行逆运动学求解，在我的项目中完全没有办法应用。其中UR末端姿态有两种表示方法，这也是排查了好久才找到的问题。现在将完整过程分享出来，希望可以帮到和我遇到同样问题的小伙伴。URsim使用及安装可参考我另一篇博客URSim+Unity联合仿真以及Socket通信_sinat_32804425的博客-CSDN博客

（改进DH参数方法可参考UR3机械臂正逆运动学详解及c++完整代码_Scolin丶-CSDN博客_ur3机械臂)

DH参数介绍

改进DH

图源《机器人学导论》

参考Universial robot 运动学_Peace-CSDN博客，此处是为了方便对比。

第i个坐标系固连在第i个连杆的左端。
轴i固连于i-1杆，在i-1杆的右端。
i坐标系固定在i杆上，随i杆转动。

每个连杆有四个参数，第i个连杆：

ai = (沿着Xi轴，从Zi移动到Zi+1的距离) ，即连杆i的抽象长度。
αi= (从Zi旋转到Zi+1的角度，转轴为Xi，右手定则)，即连杆i与连杆i+1的夹角。
di = (沿着Zi轴，从Xi-1移动至Xi的距离)， Xi-1和Xi都是垂于Zi的。
θi = (绕Zi轴，从Xi-1旋转至Xi的角度)，即连杆i-1与连杆i的夹角。

前两个参数的作用是建立 i系与i+1系的关系；

后两个参数的作用是建立i-1系与i系的关系；

标准DH

图源https://en.wikipedia.org/wiki/Denavit%E2%80%93Hartenberg_parameters

坐标系的建立：

z轴指向旋转轴。

基座的x轴可以自由选择，之后的x轴与两个连续z轴的公垂线共线。

原点选在公垂线与新z轴的交点，注意不在关节的中心，可以在空间的任何地方。

y轴由右手定则给出。

有了这些关节坐标系，就可以得到由以下四个变量决定的关节之间的转换：

di : 沿着Zi-1轴，原点Oi-1至公垂线的距离。
θi : 绕Zi-1轴，从Xi-1旋转至Xi的角度。
ai : 沿着Xi轴，从Zi-1移动至Zi的距离，即连杆Linki关于Zi-1的旋转半径。
αi : 绕Xi轴，从Zi-1旋转到Zi的角度。

特殊情况：如果Z轴是平行的，那选择最方便的那个di。此时的αi一定是0。

辅助理解动画

https://www.youtube.com/watch?v=rA9tm0gTln8https://www.youtube.com/watch?v=rA9tm0gTln8

下图是官方给的UR机械臂坐标系位置

UR5的DH参数如下表所示，其他型号可以参考Universal Robots - DH Parameters for calculations of kinematics and dynamics

正运动学

已知关节角度求变换矩阵T，根据标准DH参数法，可以得到坐标系i-1到i的变换矩阵 ${ }_{i}^{i-1} T=$

$\left[\begin{array}{cccc} \cos \theta_{i} & -\sin \theta_{i} \cos \alpha_{i} & \sin \theta_{i} \sin \alpha_{i} & a_{i} \cos \theta_{i} \\ \sin \theta_{i} & \cos \theta_{i} \cos \alpha_{i} & -\cos \theta_{i} \sin \alpha_{i} & a_{i} \sin \theta_{i} \\ 0 & \sin \alpha_{i} & \cos \alpha_{i} & d_{i} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]$

所以正运动学可以求得 ${ }_{6}^{0} T={ }_{1}^{0} T \times{ }_{2}^{1} T \times{ }_{3}^{2} T \times{ }_{4}^{3} T \times{ }_{5}^{4} T \times{ }_{6}^{5} T$ ，只要知道六个关节角，就可以求出变换矩阵

${ }_{6}^{0} T=\left[\begin{array}{cccc} n_{x} & o_{x} & a_{x} & p_{x} \\ n_{y} & o_{y} & a_{y} & p_{y} \\ n_{z} & o_{z} & a_{z} & p_{z} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]$

代码

可自行下载，链接如下：

https://download.csdn.net/download/sinat_32804425/70045943

测试

在URSim上打开UR5的虚拟机，进入到move界面，选择Base基座坐标系，随意设置一个姿态，将六个关节角输入，可以检验正运动学计算正确与否。

运行正运动学程序，输入：93.14 -62.68 108.27 -135.56 -66.46 15.59

将变换矩阵T前三行打印出来，可以看到最后的位置与URSim中TCP的三个位置相同。

逆运动学

逆运动学就是已知末端的位姿，求六个关节角的过程，一般都会求出八组解，但是只有一组是最优解，通常试两次就可确定哪一组。

变换矩阵

根据末端执行器的位姿（绕静轴的姿态），求解末端坐标系到基座坐标系的变换矩阵。这里推荐一个视频，可以帮助理解绕静轴和绕动轴两种变换方式【机械臂运动学教程】机械臂+旋转矩阵+变换矩阵+DH+逆解+轨迹规划+机器人+教程_哔哩哔哩_bilibili

在URSim中也有两种表示位姿的方式，一种是Rotation Vector，另一种是RPY。所谓RPY就是绕参考坐标系，绕定轴X（Roll）—Y（Pitch）—Z（Yaw）旋转，旋转矩阵左乘。我们计算变换矩阵一定要采用RPY[rad]这种模式下的姿态角，要不然始终会有问题。RPY是绕静轴的一种旋转方式，理解可参考机器人RPY角和Euler角 -- 基本公式_lyhbkz的博客-CSDN博客_rpy和【机器人运动学/姿态角】欧拉角和RPY角_Amanda1m的博客-CSDN博客_rpy角

我这里采用绕静轴RPY的公式来计算旋转矩阵

则位姿为 $\left[p_{x}, p_{y}, p_{z}, \gamma, \beta, \alpha\right]$ 时，旋转矩阵可以由如下公式计算得出。

${ }_{6}^{0} R=\left[\begin{array}{lll} n_{x} & o_{x} & a_{x} \\ n_{y} & o_{y} & a_{y} \\ n_{z} & o_{z} & a_{z} \end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ccc} c \alpha c \beta & c \alpha s \beta s \gamma-s \alpha c \gamma & c \alpha s \beta c \gamma+s \alpha s \gamma \\ s \alpha c \beta & s \alpha s \beta s \gamma+c \alpha c \gamma & s \alpha s \beta c \gamma-c \alpha s \gamma \\ -s \beta & c \beta s \gamma & c \beta c \gamma \end{array}\right]$

至此得到了变换矩阵T，下面开始逐步计算关节角。下列公式参考UR5型六轴机械臂运动学推导及效果演示 - 古月居

求逆解时一定要用atan2()来求解，Eigen库中自带这个函数。原理可参考UR机械臂正逆运动学求解_fengyu19930920的博客-CSDN博客_机械臂正逆运动学

关节1的求解

已知

${ }_{6}^{0} T=\left[\begin{array}{cccc} n_{x} & o_{x} & a_{x} & p_{x} \\ n_{y} & o_{y} & a_{y} & p_{y} \\ n_{z} & o_{z} & a_{z} & p_{z} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]={ }_{1}^{0} T \cdot{ }_{2}^{1} T \cdot{ }_{3}^{2} T \cdot{ }_{4}^{3} T \cdot{ }_{5}^{4} T \cdot{ }_{6}^{5} T$

则 ${ }_{1}^{0} T^{-1} \cdot T \cdot{ }_{6}^{5} T^{-1}={ }_{5}^{1} T={ }_{2}^{1} T \cdot{ }_{3}^{2} T \cdot{ }_{4}^{3} T \cdot{ }_{5}^{4} T$

${ }_{1}^{0} T^{-1}=\left[\begin{array}{cccc} \cos \theta_{1} & \sin \theta_{1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -d_{1} \\ \sin \theta_{1} & -\cos \theta_{1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right],{ }_{6}^{5} T^{-1}=\left[\begin{array}{cccc} \cos \theta_{6} & \sin \theta_{6} & 0 & 0 \\ -\sin \theta_{6} & \cos \theta_{6} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -d_{6} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]$

所以 ${ }_{1}^{0} T^{-1} \cdot T \cdot{ }_{6}^{5} T^{-1}=$

$\left[\begin{array}{cccc} c_{6}\left(n_{x} c_{1}+n_{y} s_{1}\right)-s_{6}\left(o_{x} c_{1}+o_{y} s_{1}\right) & s_{6}\left(n_{x} c_{1}+n_{y} s_{1}\right)+c_{6}\left(o_{x} c_{1}+o_{y} s_{1}\right) & a_{x} c_{1}+a_{y} s_{1} & p_{x} c_{1}-d_{6}\left(a_{x} c_{1}+a_{y} s_{1}\right)+p_{y} s_{1} \\ n_{x} c_{6}-o_{z} s_{6} & o_{z} c_{6}+n_{z} s_{6} & a_{z} & p_{z}-d_{1}-a_{z} d_{6} \\ s_{6}\left(o_{y} c_{1}-o_{x} s_{1}\right)-c_{6}\left(n_{y} c_{1}-n_{x} s_{1}\right) & -s_{6}\left(n_{y} c_{1}-n_{x} s_{1}\right)-c_{6}\left(o_{y} c_{1}-o_{x} s_{1}\right) & a_{x} s_{1}-a_{y} c_{1} & -p_{y} c_{1}+d_{6}\left(a_{y} c_{1}-a_{x} s_{1}\right)+p_{x} s_{1} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]$

而

${ }_{2}^{1} T \cdot{ }_{3}^{2} T \cdot{ }_{4}^{3} T \cdot{ }_{5}^{4} T=\left[\begin{array}{cccc} c_{234} c_{5} & -s_{234} & -c_{234} s_{5} & a_{3} c_{23}+a_{2} c_{2}+d_{2} s_{234} \\ s_{234} c_{5} & c_{234} & -s_{234} s_{5} & a_{3} s_{23}+a_{2} s_{2}-d_{5} c_{234} \\ s_{5} & 0 & c_{5} & d_{4} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]$

根据两式第三行第四列相等，则可以得到

$d_{4}=-p_{y} c_{1}+d_{6}\left(a_{y} c_{1}-a_{x} s_{1}\right)+p_{x} s_{1}$

另 $m=d_{6} a_{y}-p_{y}, n=a_{x} d_{6}-p_{x}$ ，有

$\theta_{1}=a \tan 2(m, n)-a \tan 2\left(d_{4}, \pm \sqrt{m^{2}+n^{2}-d_{4}^{2}}\right)$

共两组解。

关节5的求解

根据两式第三行第三列相等，有 $c_{5}=a_{x} s_{1}-a_{y} c_{1}$ ，则

$\theta_{5}=\pm \arccos \left(a_{x} s_{1}-a_{y} c_{1}\right)$

至此共四组解。

关节6的求解

根据两式第三行第三列相等，有 $s_{5}=s_{6}\left(o_{y} c_{1}-o_{x} s_{1}\right)-c_{6}\left(n_{y} c_{1}-n_{x} s_{1}\right)$

令 $m m=n_{x} s_{1}-n_{y} c_{1}, \quad n n=o_{x} s_{1}-o_{y} c_{1}$ ，有

$\theta_{6}=a \tan 2(m m, n n)-a \tan 2\left(s_{5}, 0\right)$

至此共四组解。

关节3的求解

由 ${ }_{1}^{0} T^{-1} \cdot T \cdot{ }_{6}^{5} T^{-1} \cdot{ }_{5}^{4} T^{-1}={ }_{4}^{1} T={ }_{2}^{1} T \cdot{ }_{3}^{2} T \cdot{ }_{4}^{3} T$ ，而且

${ }_{5}^{4} T^{-1}=\left[\begin{array}{cccc} \cos \theta_{5} & \sin \theta_{5} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & d_{5} \\ -\sin \theta_{5} & \cos \theta_{5} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]$

所以有 ${ }_{1}^{0} T^{-1} \cdot T \cdot{ }_{6}^{5} T^{-1} \cdot{ }_{5}^{4} T^{-1}=$

$\left[\begin{array}{cc} c_{5}\left(c_{6}\left(n_{x} c_{1}+n_{y} s_{1}\right)-s_{6}\left(o_{x} c_{1}+o_{y} s_{1}\right)\right)-s_{5}\left(a_{x} c_{1}+a_{y} s_{1}\right) & s_{5}\left(c_{6}\left(n_{x} c_{1}+n_{y} s_{1}\right)-s_{6}\left(o_{x} c_{1}+o_{y} s_{1}\right)\right)+c_{5}\left(a_{x} c_{1}+a_{y} s_{1}\right) \\ c_{5}\left(n_{x} c_{6}-o_{z} s_{6}\right)-s_{5} a_{z} & s_{5}\left(n_{x} c_{6}-o_{z} s_{6}\right)+c_{5} a_{z} \\ c_{5}\left(s_{6}\left(o_{y} c_{1}-o_{x} s_{1}\right)-c_{6}\left(n_{y} c_{1}-n_{x} s_{1}\right)\right)-s_{5}\left(a_{x} s_{1}-a_{y} c_{1}\right) & s_{5}\left(s_{6}\left(o_{y} c_{1}-o_{x} s_{1}\right)-c_{6}\left(n_{y} c_{1}-n_{x} s_{1}\right)\right)+c_{5}\left(a_{x} s_{1}-a_{y} c_{1}\right) \\ 0 & 0 \end{array}\right.$ $\left.\begin{array}{cc} -\left(s_{6}\left(n_{x} c_{1}+n_{y} s_{1}\right)+c_{6}\left(o_{x} c_{1}+o_{y} s_{1}\right)\right) & d_{5}\left(s_{6}\left(n_{x} c_{1}+n_{y} s_{1}\right)+c_{6}\left(o_{x} c_{1}+o_{y} s_{1}\right)\right)+p_{x} c_{1}-d_{6}\left(a_{x} c_{1}+a_{y} s_{1}\right)+p_{y} s_{1} \\ -\left(o_{z} c_{6}+n_{z} s_{6}\right) & d_{5}\left(o_{z} c_{6}+n_{z} s_{6}\right)+p_{z}-d_{1}-a_{z} d_{6} \\ s_{6}\left(n_{y} c_{1}-n_{x} s_{1}\right)+c_{6}\left(o_{y} c_{1}-o_{x} s_{1}\right) & d_{5}\left(-s_{6}\left(n_{y} c_{1}-n_{x} s_{1}\right)-c_{6}\left(o_{y} c_{1}-o_{x} s_{1}\right)\right)-p_{y} c_{1}+d_{6}\left(a_{y} c_{1}-a_{x} s_{1}\right)+p_{x} s_{1} \\ 0 & 1 \end{array}\right]$

因为

${ }_{2}^{1} T \cdot{ }_{3}^{2} T \cdot{ }_{4}^{3} T=\left[\begin{array}{cccc} c_{234} & 0 & s_{234} & a_{3} c_{23}+a_{2} c_{2} \\ s_{234} & 0 & -c_{234} & a_{3} s_{23}+a_{2} s_{2} \\ 0 & 1 & 0 & d_{4} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]$

根据两式第一行第四列相等，第二行第四列相等，有

$\begin{aligned} &d_{5}\left(s_{6}\left(n_{x} c_{1}+n_{y} s_{1}\right)+c_{6}\left(o_{x} c_{1}+o_{y} s_{1}\right)\right)+p_{x} c_{1}-d_{6}\left(a_{x} c_{1}+a_{y} s_{1}\right)+p_{y} s_{1}=a_{3} c_{23}+a_{2} c_{2} \\ &d_{5}\left(o_{z} c_{6}+n_{z} s_{6}\right)+p_{z}-d_{1}-a_{z} d_{6}=a_{3} s_{23}+a_{2} s_{2} \end{aligned}$

令

$m m m=d_{5}\left(s_{6}\left(n_{x} c_{1}+n_{y} s_{1}\right)+c_{6}\left(o_{x} c_{1}+o_{y} s_{1}\right)\right)+p_{x} c_{1}-d_{6}\left(a_{x} c_{1}+a_{y} s_{1}\right)+p_{y} s_{1}$

$\text { nnn }=d_{5}\left(o_{z} c_{6}+n_{z} s_{6}\right)+p_{z}-d_{1}-a_{z} d_{6}$

则有

$\theta_{3}=\pm \arccos \left(\frac{m m m^{2}+n n n^{2}-a_{2}^{2}-a_{3}^{2}}{2 a_{2} a_{3}}\right)$

至此共八组解。

关节2的求解

由上述推导，可令

$s_{2}=\frac{\left(a_{3} c_{3}+a_{2}\right) n n n-a_{3} s_{3} m m m}{a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+2 a_{2} a_{3} c_{3}}, \quad c_{2}=\frac{m m m+a_{3} s_{3} s_{2}}{a_{3} c_{3}+a_{2}}$

所以

$\theta_{2}=a \tan 2\left(s_{2}, c_{2}\right)$

至此共八组解。

关节4的求解

由 ${ }_{1}^{0} T^{-1} \cdot T \cdot{ }_{6}^{5} T^{-1}={ }_{5}^{1} T={ }_{2}^{1} T \cdot{ }_{3}^{2} T \cdot{ }_{4}^{3} T \cdot{ }_{5}^{4} T$ ，可设

$\begin{gathered} -s_{234}=s_{6}\left(n_{x} c_{1}+n_{y} s_{1}\right)+c_{6}\left(o_{x} c_{1}+o_{y} s_{1}\right) \\ c_{234}=o_{z} c_{6}+n_{z} s_{6} \end{gathered}$

所以

$\theta_{4}=a \tan 2\left(-s_{6}\left(n_{x} c_{1}+n_{y} s_{1}\right)-c_{6}\left(o_{x} c_{1}+o_{y} s_{1}\right), o_{z} c_{6}+n_{z} s_{6}\right)-\theta_{2}-\theta_{3}$

总共八组解。

正逆解完整代码

按照上面公式，即可完美求解。代码链接如下：

https://download.csdn.net/download/sinat_32804425/70047254

测试结果

输入：0.17269 -0.55555 0.11106 3.025 0.395 2.901

结果如下，可以看出，第三组与URSim中的完美匹配。

不足之处

没有考虑奇异解的特殊情况，后面需要的话会再进行研究。

其他UR构型的机械臂换一下DH参数应该也是也可用这种方法来求解的。有问题的话可以评论区交流~~

一些有用链接

UR运动学GitHub代码

https://github.com/ros-industrial/universal_robot/blob/kinetic-devel/ur_kinematics/src/ur_kin.cpp

手册下载

UR Download | Support Site | Universal Robots

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内容来自DEN0024A_v8_architecture_PG.pdf本质ARMv8Debug是什么历史在ARMv4开始被引入,并已发展成一系列广泛的调试(debug1)和跟踪(trace)功能ARMv6和ARMv7-a新增了自托管调试(debug2)和性能评测(trace-enhance)ARMv8处理器提供硬件功能侵入式:调试工具能够对核心活动提供显著级别的控制非侵入式:以非侵入性方式收集有关
Android应用性能优化轻口味 Android
Android手机由于其本身的后台机制和硬件特点，性能上一直被诟病，所以软件开发者对软件本身的性能优化就显得尤为重要；本文将对Android开发过程中性能优化的各个方面做一个回顾与总结。Cache优化ListView缓存：ListView中有一个回收器，Item滑出界面的时候View会回收到这里，需要显示新的Item的时候，就尽量重用回收器里面的View；每次在getView函数中inflate新
C++ lambda闭包消除类成员变量 barbyQAQ c++c++java 算法
原文链接：https://blog.csdn.net/qq_51470638/article/details/142151502一、背景在面向对象编程时，常常要添加类成员变量。然而类成员一旦多了之后，也会带来干扰。拿到一个类，一看成员变量好几十个，就问你怕不怕？二、解决思路可以借助函数式编程思想，来消除一些不必要的类成员变量。三、实例举个例子：classClassA{public:...intfu
2021 CCF 非专业级别软件能力认证第一轮（CSP-J1）入门级C++语言试题（第三大题：完善程序代码） mmz1207 c++csp
最近有一段时间没更新了，在准备CSP考试，请大家见谅。（1）有n个人围成一个圈，依次标号0到n-1。从0号开始，依次0，1，0，1...交替报数，报到一的人离开，直至圈中剩最后一个人。求最后剩下的人的编号。#includeusingnamespacestd;intf[1000010];intmain(){intn;cin>>n;inti=0,cnt=0,p=0;while(cnt#includeu
《 C++ 修炼全景指南：九》打破编程瓶颈！掌握二叉搜索树的高效实现与技巧 Lenyiin C++修炼全景指南技术指南 c++算法 stl
摘要本文详细探讨了二叉搜索树（BinarySearchTree,BST）的核心概念和技术细节，包括插入、查找、删除、遍历等基本操作，并结合实际代码演示了如何实现这些功能。文章深入分析了二叉搜索树的性能优势及其时间复杂度，同时介绍了前驱、后继的查找方法等高级功能。通过自定义实现的二叉搜索树类，读者能够掌握其实际应用，此外，文章还建议进一步扩展为平衡树（如AVL树、红黑树）以优化极端情况下的性能退化。
20个新手学习c++必会的程序输出*三角形、杨辉三角等（附代码） X_StarX c++学习算法大学生开发语言数据结构
示例1:HelloWorld#includeusingnamespacestd;intmain(){coutusingnamespacestd;intmain(){inta=5;intb=10;intsum=a+b;coutusingnamespacestd;intfactorial(intn){if(nusingnamespacestd;voidprintFibonacci(intn){intt
C++八股 Petrichorzncu 八股总结 c++开发语言
这里写目录标题C++内存管理C++的构造函数，复制构造函数，和析构函数深复制与浅复制：构造函数和析构函数哪个能写成虚函数，为什么？C++数据结构内存排列结构体和类占用的内存：==虚函数和虚表的原理==虚函数虚表（Vtable）虚函数和虚表的实现细节==内存泄漏==指针的工作原理函数的传值和传址new和delete与malloc和freeC++内存区域划分C++11新特性C++常见新特性==智能指针
【Python搞定车载自动化测试】——Python实现车载以太网DoIP刷写（含Python源码）疯狂的机器人 Python搞定车载自动化 python DoIP UDS ISO 14229 1SO 13400 Bootloader tcp/ip
系列文章目录【Python搞定车载自动化测试】系列文章目录汇总文章目录系列文章目录前言一、环境搭建1.软件环境2.硬件环境二、目录结构三、源码展示1.DoIP诊断基础函数方法2.DoIP诊断业务函数方法3.27服务安全解锁4.DoIP自动化刷写四、测试日志1.测试日志五、完整源码链接前言随着智能电动汽车行业的发展，汽车=智能终端+四个轮子，各家车企都推出了各自的OTA升级方案，本章节主要介绍如何使
【2022 CCF 非专业级别软件能力认证第一轮（CSP-J1）入门级 C++语言试题及解析】汉子萌萌哒 CCF noi 算法数据结构 c++
一、单项选择题(共15题，每题2分，共计30分；每题有且仅有一个正确选项)1.以下哪种功能没有涉及C++语言的面向对象特性支持：()。A.C++中调用printf函数B.C++中调用用户定义的类成员函数C.C++中构造一个class或structD.C++中构造来源于同一基类的多个派生类题目解析【解析】正确答案:AC++基础知识，面向对象和类有关，类又涉及父类、子类、继承、派生等关系，printf
《 C++ 修炼全景指南：十》自平衡的艺术：深入了解 AVL 树的核心原理与实现 Lenyiin C++修炼全景指南技术指南 c++数据结构 stl
摘要本文深入探讨了AVL树（自平衡二叉搜索树）的概念、特点以及实现细节。我们首先介绍了AVL树的基本原理，并详细分析了其四种旋转操作，包括左旋、右旋、左右双旋和右左双旋，阐述了它们在保持树平衡中的重要作用。接着，本文从头到尾详细描述了AVL树的插入、删除和查找操作，配合完整的代码实现和详尽的注释，使读者能够全面理解这些操作的执行过程。此外，我们还提供了AVL树的遍历方法，包括中序、前序和后序遍历，
matlab delsat = setdiff(1:69,unique(Eph(30,:)))；语句含义黄卷青灯77 matlab 开发语言 setdiff
这行MATLAB代码用于计算在范围1:69中不包含在Eph矩阵第30行的唯一值集合中的所有元素。具体解释如下：delsat=setdiff(1:69,unique(Eph(30,:)));解释Eph(30,:)Eph(30,:)提取矩阵Eph的第30行的所有列元素。这是一个行向量，包含了第30行的所有值。unique(Eph(30,:))unique函数返回Eph(30,:)中的唯一元素。这意味着
深入浅出 -- 系统架构之负载均衡Nginx的性能优化 xiaoli8748_软件开发系统架构系统架构负载均衡 nginx
一、Nginx性能优化到这里文章的篇幅较长了，最后再来聊一下关于Nginx的性能优化，主要就简单说说收益最高的几个优化项，在这块就不再展开叙述了，毕竟影响性能都有多方面原因导致的，比如网络、服务器硬件、操作系统、后端服务、程序自身、数据库服务等，对于性能调优比较感兴趣的可以参考之前《JVM性能调优》中的调优思想。优化一：打开长连接配置通常Nginx作为代理服务，负责分发客户端的请求，那么建议开启H
小西妈双语工程打卡2018-1-18 慢蜗牛Erica
这是送给妈妈的，还有一张是爸爸的，现在看着这张小图，觉得好温暖。早上看到了我把它折上了，还好一顿不高兴。妈妈这个是爸爸。爸爸希望之星，Herewecome.复赛通知书这是送给妈妈的小鹿，栩栩如生吧，不过妈妈不确定这是他一个人完成的。还送了妈妈一个小蝴蝶发卡，很暖心哦。小鹿上完课回家就很晚了，自己看了好几本书，没有录阅读打卡。听peppa第一季3集。
PHP，安卓，UI，java，linux视频教程合集 cocos2d-x小菜 java UI PHP android linux
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各表中的列名必须唯一。在表 'dbo.XXX' 中多次指定了列名 'XXX'。 bozch .net .net mvc
在.net mvc5中，在执行某一操作的时候，出现了如下错误：各表中的列名必须唯一。在表 'dbo.XXX' 中多次指定了列名 'XXX'。经查询当前的操作与错误内容无关，经过对错误信息的排查发现，事故出现在数据库迁移上。回想过去：在迁移之前已经对数据库进行了添加字段操作，再次进行迁移插入XXX字段的时候，就会提示如上错误。 &
Java 对象大小的计算 e200702084 java
Java对象的大小如何计算一个对象的大小呢？
Mybatis Spring 171815164 mybatis
ApplicationContext ac = new ClassPathXmlApplicationContext("applicationContext.xml"); CustomerService userService = (CustomerService) ac.getBean("customerService"); Customer cust
JVM 不稳定参数 g21121 jvm
-XX 参数被称为不稳定参数，之所以这么叫是因为此类参数的设置很容易引起JVM 性能上的差异，使JVM 存在极大的不稳定性。当然这是在非合理设置的前提下，如果此类参数设置合理讲大大提高JVM 的性能及稳定性。可以说“不稳定参数”
用户自动登录网站永夜-极光用户
1.目标:实现用户登录后,再次登录就自动登录,无需用户名和密码 2.思路:将用户的信息保存为cookie 每次用户访问网站,通过filter拦截所有请求,在filter中读取所有的cookie,如果找到了保存登录信息的cookie,那么在cookie中读取登录信息,然后直接
centos7 安装后失去win7的引导记录程序员是怎么炼成的操作系统
1.使用root身份(必须)打开 /boot/grub2/grub.cfg 2.找到 ### BEGIN /etc/grub.d/30_os-prober ### 在后面添加 menuentry "Windows 7 (loader) (on /dev/sda1)" {
Oracle 10g 官方中文安装帮助文档以及Oracle官方中文教程文档下载 aijuans oracle
Oracle 10g 官方中文安装帮助文档下载：http://download.csdn.net/tag/Oracle%E4%B8%AD%E6%96%87API%EF%BC%8COracle%E4%B8%AD%E6%96%87%E6%96%87%E6%A1%A3%EF%BC%8Coracle%E5%AD%A6%E4%B9%A0%E6%96%87%E6%A1%A3 Oracle 10g 官方中文教程
JavaEE开源快速开发平台G4Studio_V3.2发布了無為子 AOP oracle mysql javaee G4Studio
我非常高兴地宣布,今天我们最新的JavaEE开源快速开发平台G4Studio_V3.2版本已经正式发布。大家可以通过如下地址下载。访问G4Studio网站 http://www.g4it.org G4Studio_V3.2版本变更日志功能新增 (1).新增了系统右下角滑出提示窗口功能。 (2).新增了文件资源的Zip压缩和解压缩
Oracle常用的单行函数应用技巧总结百合不是茶日期函数转换函数(核心)数字函数通用函数(核心)字符函数
单行函数; 字符函数,数字函数,日期函数,转换函数(核心),通用函数(核心) 一:字符函数: .UPPER(字符串) 将字符串转为大写 .LOWER (字符串) 将字符串转为小写 .INITCAP(字符串) 将首字母大写 .LENGTH (字符串) 字符串的长度 .REPLACE(字符串,'A','_') 将字符串字符A转换成_
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Mockito异常测试实例： package com.bijian.study; import static org.mockito.Mockito.mock; import static org.mockito.Mockito.when; import org.junit.Assert; import org.junit.Test; import org.mockito.
GA与量子恒道统计 Bill_chen JavaScript 浏览器百度 Google 防火墙
前一阵子，统计**网址时，Google Analytics（GA）和量子恒道统计（也称量子统计），数据有较大的偏差，仔细找相关资料研究了下，总结如下：为何GA和量子网站统计（量子统计前身为雅虎统计）结果不同？首先：没有一种网站统计工具能保证百分之百的准确出现该问题可能有以下几个原因：（1）不同的统计分析系统的算法机制不同；（2）统计代码放置的位置和前后
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六轴UR机械臂标准DH正逆运动学公式推导+代码验证C++

DH参数介绍

改进DH

每个连杆有四个参数，第i个连杆：

标准DH

有了这些关节坐标系，就可以得到由以下四个变量决定的关节之间的转换：

正运动学

代码

测试

逆运动学

变换矩阵

求逆解时一定要用atan2()来求解，Eigen库中自带这个函数。原理可参考UR机械臂正逆运动学求解_fengyu19930920的博客-CSDN博客_机械臂正逆运动学

关节1的求解

关节5的求解

关节6的求解

关节3的求解

关节2的求解

关节4的求解

正逆解完整代码

测试结果

不足之处

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