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递归树
1.递归构建二进制串
2.全排列的 DFS 解法
3.全排列的 BFS 解法
4.数的划分法
5.图书推荐
递归树
递归树是一种用于分析递归算法时间复杂度的工具。它可以将递归算法的执行过程可视化，从而更好地理解算法的时间复杂度。
递归树的构造方法如下：
- 首先，将递归算法的输入规模表示为根节点。
- 然后，将递归算法的每一次递归调用表示为树的一个子节点。
- 对于每个子节点，将其表示为一个与父节点相同的问题，但是规模更小的子问题。
- 重复上述步骤，直到递归算法的规模为 1 或者 0。
递归树的叶子节点表示递归算法的基本操作，而递归树的深度表示递归算法的递归深度。通过递归树，可以很容易地计算出递归算法的时间复杂度。
以下是一个递归树的例子：
构建二进制串
这个递归树表示的是一个将一个大小为 n 的问题分成两个大小为 n/2 的子问题的递归算法。从根节点到叶子节点的路径长度为 O(log n)，因此，这个递归算法的时间复杂度为 O(n log n)。在实际应用中，递归树常常用于分析递归。
1.递归构建二进制串
public class A {
public static void main(String[] args) {
dg(0,"");
}
private static void dg(int depth, String bin) {
if(depth==4) {
System.out.println(bin);
return ;
}
dg(depth+1,bin+"0");
dg(depth+1,bin+"1");
}
}0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 修改一下:
public class A {
public static void main(String[] args) {
DFS(0,"");
}
private static void DFS(int depth, String bin) {
if(depth==4) {
System.out.println(bin);
return ;
}
for (int i = 0; i <= 1; i++) {
DFS(depth+1,bin+i);
}
}
}优化：用数组存
在这个例子中，我们使用了一个静态数组arr来存储每个深度的值，当深度达到4时，我们输出这个数组。在DFS函数中，我们使用了一个for循环来遍历每个深度的可能性，即0或1，然后将其存储在数组中，并递归调用DFS函数，直到深度达到4。
public class A {
public static int[] arr=new int[4];
public static void main(String[] args) {
DFS(0);
}
private static void DFS(int depth) {
if(depth==4) {
System.out.println(Arrays.toString(arr));
return ;
}
for (int i = 0; i <= 1; i++) {
arr[depth]=i;
DFS(depth+1);
}
}
}结果：
[0, 0, 0, 0] [0, 0, 0, 1] [0, 0, 1, 0] [0, 0, 1, 1]
[0, 1, 0, 0] [0, 1, 0, 1] [0, 1, 1, 0] [0, 1, 1, 1]
[1, 0, 0, 0] [1, 0, 0, 1] [1, 0, 1, 0] [1, 0, 1, 1]
[1, 1, 0, 0] [1, 1, 0, 1] [1, 1, 1, 0] [1, 1, 1, 1] 2.全排列的 DFS 解法
这段代码是一个全排列的DFS解法。我们使用了递归的方式来生成所有可能的排列。初始时，我们调用DFS函数，初始深度为0，初始答案为空字符串，n为3。在DFS函数中，我们首先判断当前深度是否达到n，如果达到，则输出答案并返回。否则，我们遍历所有可能的下一位数，如果该数未被使用，则将其加入到答案中，并递归调用DFS函数，深度加1。当递归返回时，我们将该数从答案中删除，以便遍历其他可能的下一位数。下面是代码实现：
public class A {
public static void main(String[] args) {
DFS(0,"",3);
}
private static void DFS(int depth, String ans,int n) {
if(depth==n) {
System.out.println(ans);
return ;
}
for (int i = 1; i <= n; i++) {
if(!ans.contains(""+i))
DFS(depth+1,ans+i,n);
}
}
}
123 132 213 231 312 321 3.全排列的 BFS 解法
这段代码是一个全排列的BFS解法。我们使用了一个队列来存储每个深度的可能性，初始时，队列中包含了所有可能的第一位数。然后，我们遍历队列中的所有元素，将当前深度的可能性加入到队列中。当深度达到n时，队列中的所有元素即为所有可能的排列。
下面是代码实现：
public class A {
public static void main(String[] args) {
int n=3;
Queue q=new LinkedList();
//将所有可能的第一位数加入队列中
for (int i = 1; i <= n; i++) q.offer(""+i);
while(!q.isEmpty()) {
String head=q.poll();
for (int i = 1; i <= n; i++) {
//如果当前深度的可能性中已经包含了i，则跳过
if(head.contains(""+i)) continue;
String son=head+i;
//如果当前深度为n，则输出当前深度的可能性
if(son.length()==n) System.out.println(son);
//否则将当前深度的可能性加入到队列中
else q.offer(son);
}
}
}
}
123 132 213 231 312 321 4.数的划分法
问题描述
将整数n分成k份，且每份不能为空，任意两份不能相同(不考虑顺序)。
例如：n=7，k=3，下面三种分法被认为是相同的:
1，1，5;1，5，1;
5，1，1;
问有多少种不同的分法。输入格式
n，k
输出格式
一个整数，即不同的分法
样例输入
7 3
样例输出
4 {四种分法为：1，1，5;1，2，4;1，3，3;2，2，3;}
给定一个正整数n，将其拆分成k个正整数的和，求方案数。这里使用了深度优先搜索的方法，从min开始枚举每个数，递归求解。其中，fanan表示当前的方案，ans表示方案数，cnt表示调用次数。
public class A {
public static int cnt;//调用次数
public static int ans;//方案数
public static void main(String[] args) {
int n=7;//给定的正整数
int k=3;//将其拆分成k个正整数的和
dfs(n,k,1,"");//从1开始枚举每个数
System.out.println("方案数："+ans);//输出方案数
System.out.println("调用次数："+cnt);//输出调用次数
}
/**
* 深度优先搜索
* @param n 给定的正整数
* @param k 将其拆分成k个正整数的和
* @param min 枚举的最小值
* @param fanan 当前的方案
*/
private static void dfs(int n, int k, int min, String fanan) {
cnt++;//调用次数加1
if(k==1 && min<=n) {//如果k=1且min<=n
ans++;//方案数加1
System.out.println(fanan+n);//输出方案
return ;
}
if(min*k>n) return ; //剪枝
for (int i = min; i < n; i++) {//枚举每个数i
dfs(n-i,k-1,i,fanan+i+"+");//递归搜索
}
}
}
1+1+5
1+2+4
1+3+3
2+2+3
方案数：4
调用次数：15
5.图书推荐
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无论是否愿意，我们的生活已被算法包围。为了帮助大家全面认知我们当前所身处的世界，消弭技术发展过快带来的困扰与隐忧，《人人都离不开的算法——图解算法应用》一方面从人工智能算法的五大核心应用领域—公共、商业、医疗、工业、金融的典型场景出发，以通俗化、故事化和漫画化的具体事例，深入解读算法是如何在各行各业具体发挥作用和对日常生活的影响；另一方面，将从算法的责任监管和立法治理等角度，阐述算法开发与应用者们应该如何守好伦理底线，让科技向善而行。
《人人都离不开的算法——图解算法应用》脉络清晰，图文并茂，无论你是工作中会接触到算法应用的从业人员，还是对算法应用感到好奇的小白，本书都有助于你打开视野，看到算法在实际应用中的波澜壮阔。
