特征值与特征向量
特征值与特征向量
定义：设是数域P上线性空间V的一个线性变换,若对于,存在一个非零向量,使
则称为的一个特征值,称为的属于特征值的一个特征向量
注：
1.特征向量的方向经过线性变换后保持在同一直线上
2.特征向量不是被特征值唯一确定的,若是线性变换的属于特征值的特征向量,则的任一非零倍数也是的属于的特征向量
3.特征值被特征向量唯一确定,一个特征向量只能属于一个特征值
求法：
设V是数域P上n维线性空间,是一组基,线性变换在这组基下的矩阵是A,设是特征值,它的一个特征向量在下的坐标为,则的坐标为,的坐标为
故相当于坐标之间的等式
或
即特征向量的坐标满足齐次方程组
即
,故它的坐标不全为零,即齐次方程组有非零解
故
特征多项式
定义：设A是数域P上一n级矩阵,是一个文字,矩阵的行列式
称为A的特征多项式,是数域P上的一个n次多项式
注：若是线性变换的特征值,则是矩阵A的特征多项式的一个根,反之,若是矩阵A的特征多项式在数域P中的一个根,即,则对应齐次方程组有非零解,若是方程组的一个非零解,则非零向量满足
即是线性变换的一个特征值,是数域特征值的一个特征向量
确定线性变换的特征值与特征向量：
1.在线性空间V中取一组基,写出在这组基下的矩阵A
2.求出A的特征多项式在数域P中全部的根,即的全部特征值
3.将所求得的特征值逐个代入方程组,对每个特征值,解方程组,求出一组基础解系,即属于这个特征值的几个线性无关的特征向量在基下的坐标,求出属于每个特征值的全部线性无关的特征向量
例：
1.n维线性空间中,数乘变换在任一组基下的矩阵都是,它的特征多项式为
故数乘变换的特征值只有k
由定义,每个非零向量都是属于数乘变换的特征向量
2.设线性变换在基下的矩阵是
求的特征值与特征向量
特征多项式为
故特征值为(二重)和5
把特征值-1代入齐次方程组
可得
基础解系为
故属于-1的两个线性无关的特征向量为
属于-1的全部特征向量为,取遍数域P中不全为零的全部数对
再将特征值5代入得
基础解系为
故属于5的一个线性无关的特征向量为
属于5的全部特征向量为,k是P中任意不为零的数
3.在空间中,线性变换在基下的矩阵为
的特征多项式为
故D的特征值为0
通过解相应齐次线性方程组可知,属于特征值0的线性无关的特征向量组只能是任一非零常数
即微商为零的多项式只能是零或非零常数
4.平面上全体向量构成实数域上一个二维线性空间
选择在直角坐标系下的矩阵为
特征多项式为
当时,多项式无实根,故时,没有特征值
特征子空间
对线性变换的任一特征值,适合条件的向量所成的集合,即的属于的全部特征向量再添上零向量所成的集合,是V的一个子空间,称为的一个特征子空间,记作
注：的维数是属于的线性无关的特征向量的最大个数,
展开式中,有一项是主对角线上元素的连乘积
其余各项至多包含个主对角线上的元素,对的次数最多是
故特征多项式中含的n次与n-1次项只能在主对角线上元素的连乘积中出现
为
令,可得常数项
故若只写出特征多项式的前两项与常数项,有
若在数域P上能分解为一次因式的乘积,由根与系数的关系,A的全体特征值的和为,称为的迹,记作,A的全体特征值的积为
注：特征值被线性变换确定,在有限维空间中,任取一组基,特征值为线性变换在这组基下矩阵的特征多项式的根,基不同则线性变换的矩阵一般也不同,但是相似
定理：相似的矩阵有相同的特征多项式
证明：
注：
1.定理说明线性变换的矩阵的特征多项式与基的选择无关,直接被线性变换决定,故可称为线性变换的特征多项式
2.定理的逆不成立,特征多项式相同的矩阵不一定相似
如
它们的特征多项式都是,但A和B不相似,和A相似的矩阵只能是A
Hamilton-Cayley定理
定理：设A是数域P上一个矩阵,是A的特征多项式,则
证明：
推论：设是有限维空间V的线性变换,是的特征多项式,则