线性方程组解的存在定理和例题

命题1.已知是矩阵,是矩阵，是的列向量，则齐次线性方程组与同解的充要条件是与的行向量等价，并说明他们的列向量不一定等价。

例.是n级反对称矩阵,b是n维列向量，则有解的充要条件是

命题2.分别是的矩阵，则与同解的充要条件是

命题3.分别是的矩阵，且，证明对任意的矩阵都有
推论:设是一个方阵，且存在正整数使得，则

命题4.设是n级方阵，证明：对于任意正整数有

分块矩阵简单应用

例.已知是的实列满秩矩阵，其中，则存在的实列满秩矩阵使得为可逆矩阵，且
提示：易得为的基础解系所组成解矩阵，那么还能得到,现主要证明可逆，可转化为只有零解，可分别同乘

命题4.设是一个n级实矩阵，则
(1)如果，那么
(2)如果，那么

推论：是任意n级实方阵，则存在充分大的使得时，可逆

例1.(1)设都是n级矩阵，且，证明
(2)已知是n级方阵，为n维单位列向量，证明

例2.求二次型的秩和正负惯性指数
证明：(1)矩阵行和为0，故秩小于等于
(2)阶主子式对角占优，故秩大于等于
(3)该矩阵半正定：
判别法(a):利用不等式
判别法(b):拆开后利用秩1矩阵性质进行计算行列式，得到特征值为和

例3.设阶矩阵满足条件
(1)
(2)
(3)
试求的秩

例题1：求过的二次曲线方程

例题2：证明：如果一个球面的球心坐标中至少有一个是无理数，则此球面上任何四个不在同一平面上的点中至少有三个点坐标是有理数。

例题：(1)证明：在中，多项式是一组基，其中是中互异的数
(2)在(1)中，取是全体次单位根，求由基到基的过渡矩阵

例题：已知是有限维空间的子空间，且，证明：要么要么
证明：不难得到接下来，我们可以得到，那么接下来的事情就是显然的了。

命题.是数域上的级方阵，，且，，记元齐次线性方程组，，的解空间分别为，则

任何一个线性空间不能被自身的有限个非平凡的并所得到。

命题：(覆盖定理)(1)设是线性空间的两个非平凡子空间，证明：在中存在向量使得且，即集合
(2)设是线性空间的个非平凡子空间，证明：中至少存在一个向量不属于中的任何一个，即集合

证明：(亦相当重要)
(1)由非平凡，得存在,若则即所求，若不然,即,则存在,考虑，首先二者均不属于，其次至少有一个不属于否则，作差得，矛盾
(2)归纳：不妨对于个子空间的时候是对的，那么存在若证毕，现，取，考虑必然均不属于，然后不存在两个向量同时属于空间又有共个向量，必然存在某个向量，设为,证毕

例题：已知是线性空间上的个两两不同的线性变换，证明：在中必存在向量使得也两两不同
证明：

例题：设是一个数域，是线性空间上的线性变换，且对任意的都有或，证明：要么对于所有的，都有要么对于所有的,都有
证明：先固定一个矩阵，让另一个矩阵取遍可验证为子空间，并起来为全空间，由覆盖定理，必然只能其中一个为全空间，再让原来固定的矩阵跑起来，最后就得到到了答案。

考研例题：设是维欧式空间中的个向量，如果对任意的都有。证明：中至少有一个为零向量