圆锥曲线中的对称问题

在直线与圆锥曲线的位置关系中，常出现这样一类问题：一个圆锥曲线上存在两点关于某直线对称，求方程中参数的范围. 这类问题涉及的知识面广，解题灵活性大，是高考中的一个热点和难点. 因此，掌握这类问题的解法是必要的和重要的.

方法一 判别式法

判别式法解圆锥曲线中存在点关于直线对称问题

使用情景：圆锥曲线中存在点关于直线对称问题
解题步骤：

第一步 假设这样的对称点、存在，利用对称中的垂直关系设出两点、所在的直线方
程；
第二步 联立所在直线方程与圆锥曲线方程，求出中点的坐标；
第三步 把的坐标代入对称直线，求出两个参数之间的等式；
第四步 利用联立后方程的求出其中需求参数的范围.
例1. 已知椭圆,试确定的取值范围，使得对于直线，椭圆上有不同两点关于这条直线对称.

解析：设存在两点，关于对称，中点为，

则所在直线为，

与椭圆联立得：，

所以

在上

，

又

故，即

解得：.
【总结】对于此类问题有第一种解法，即抓住两点对称中体现的两要点：垂直（斜率之积为）和两点连线中点在对称直线上，至于参数的范围则是由联立后方程的产生.

例2、在以为原点的直角坐标系中，点为的直角顶点，已知，且点的纵坐标大于零.
（1）求向量的坐标；
（2）求圆关于直线对称的圆的方程；
（3）是否存在实数，使抛物线上总有关于直线对称的两个点？若不存在，说明理由；若存在，求的取值范围.
【解析】
（1）设，

则由，得.
解得，　或.
，

，
得，故.

(2)由，得，于是直线的方程为

由题设可知圆的标准方程为，

所以圆心，半径为

设圆心关于直线的对称点为

则，解得

故所求圆的方程为

（3）设，为抛物线上关于直线对称的两点，

则：，　整理得：，
即，为方程的两个相异实根.
于是由，得.
故当.时，抛物线上总有关于直线对称的两点.
【总结】关于直线的对称圆的半径不变，只有圆心不同，所以欲求对称圆方程，只需求其圆心，即已知圆圆心的关于直线的对称点即可；若曲线上存在关于直线OB的对称两点，则该两点的连线与曲线有两相异交点，即判别式大于零，由此即可求出a的取值范围.

方法二 点差法

点差法解圆锥曲线中存在点关于直线对称问题

使用情景：圆锥曲线中存在点关于直线对称问题
解题步骤：

第一步 设出两点和中点坐标；
第二步 用“点差法”根据垂直关系求出，满足的关系式；
第三步 联立直线方程，求出交点，即中点；
第四步 由中点位置及对应范围求出参数取值范围.

例3、若抛物线上总存在关于直线对称的两点，求的范围．
解析：如图，设，是抛物线上关于直线对称的两点，则的方程可设为。

解方程组：得中点的坐标

联立消去得……(*)

依题意(*)式，且

，再由得

解法二：

曲线关于直线对称曲线方程为：，

解方程组：

，

代入得关于的二次方程：，

由得。

【总结】：这种方法巧之处在于利用抛物线方程的一次式设点，利用斜率和中点关系求出两根之和、两根之积，构造方程，利用求出参数范围.
当然，不管是两种解法还是针对抛物线的特殊法，都无非紧紧抓住两点关于直线对称所产生的垂直及中点问题，不过在有关范围关系式的产生上有差别.