遗传算法原理及例题

作者：sjyan
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求解函数 f(x) = x + 10*sin(5*x) + 7*cos(4*x) 在区间[0,9]的最大值。

这个函数大概长这样：

<img src="https://pic7.zhimg.com/50/c461e04cdc0b8947bad5f1a47fc322e6_hd.jpg" data-caption="" data-size="normal" data-rawwidth="1266" data-rawheight="932" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="1266" data-original="https://pic7.zhimg.com/c461e04cdc0b8947bad5f1a47fc322e6_r.jpg">

那么如何应用遗传算法如何来找到这个奇怪的函数的最大值呢？

事实上，不管一个函数的形状多么奇怪，遗传算法都能在很短的时间内找到它在一个区间内的(近似)最大值。

相当神奇，不是吗？

接下来围绕这个问题，讲讲我对遗传算法的一些理解。实现代码以及在Matlab中使用遗传算法的小教程都附在最后。

1.介绍

遗传算法(Genetic Algorithm)遵循『适者生存』、『优胜劣汰』的原则，是一类借鉴生物界自然选择和自然遗传机制的随机化搜索算法。

遗传算法模拟一个人工种群的进化过程，通过选择(Selection)、交叉(Crossover)以及变异(Mutation)等机制，在每次迭代中都保留一组候选个体，重复此过程，种群经过若干代进化后，理想情况下其适应度达到***近似最优***的状态。

自从遗传算法被提出以来，其得到了广泛的应用，特别是在函数优化、生产调度、模式识别、神经网络、自适应控制等领域，遗传算法发挥了很大的作用，提高了一些问题求解的效率。

2.遗传算法组成

• 编码 -> 创造染色体
• 个体 -> 种群
• 适应度函数
• 遗传算子
  
  • 选择
  • 交叉
  • 变异

• 运行参数
  
  • 是否选择精英操作
  • 种群大小
  • 染色体长度
  • 最大迭代次数
  • 交叉概率
  • 变异概率

2.1 编码与解码

实现遗传算法的第一步就是明确对求解问题的编码和解码方式。

对于函数优化问题，一般有两种编码方式，各具优缺点

• 实数编码：直接用实数表示基因，容易理解且不需要解码过程，但容易过早收敛，从而陷入局部最优
• 二进制编码：稳定性高，种群多样性大，但需要的存储空间大，需要解码且难以理解

对于求解函数最大值问题，我选择的是二进制编码。

<img src="https://pic4.zhimg.com/50/6f49b2e302fbebe4d3c4242495e3b1ab_hd.jpg" data-caption="" data-size="normal" data-rawwidth="706" data-rawheight="304" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="706" data-original="https://pic4.zhimg.com/6f49b2e302fbebe4d3c4242495e3b1ab_r.jpg">

以我们的目标函数 f(x) = x + 10sin(5x) + 7cos(4x), x∈[0,9] 为例。

假如设定求解的精度为小数点后4位，可以将x的解空间划分为 (9-0)×(1e+4)=90000个等分。

2^16<90000<2^17，需要17位二进制数来表示这些解。换句话说，一个解的编码就是一个17位的二进制串。

一开始，这些二进制串是随机生成的。

一个这样的二进制串代表一条染色体串，这里染色体串的长度为17。

对于任何一条这样的染色体chromosome，如何将它复原(解码)到[0,9]这个区间中的数值呢？

对于本问题，我们可以采用以下公式来解码：

x = 0 + decimal(chromosome)×(9-0)/(2^17-1)

decimal( ): 将二进制数转化为十进制数

一般化解码公式：

f(x), x∈[lower_bound, upper_bound]
x = lower_bound + decimal(chromosome)×(upper_bound-lower_bound)/(2^chromosome_size-1)

lower_bound: 函数定义域的下限
upper_bound: 函数定义域的上限
chromosome_size: 染色体的长度

通过上述公式，我们就可以成功地将二进制染色体串解码成[0,9]区间中的十进制实数解。

2.2 个体与种群

『染色体』表达了某种特征，这种特征的载体，称为『个体』。

对于本次实验所要解决的一元函数最大值求解问题，个体可以用上一节构造的染色体表示，一个个体里有一条染色体。

许多这样的个体组成了一个种群，其含义是一个一维点集(x轴上[0,9]的线段)。

2.3 适应度函数

遗传算法中，一个个体(解)的好坏用适应度函数值来评价，在本问题中，f(x)就是适应度函数。

适应度函数值越大，解的质量越高。

适应度函数是遗传算法进化的驱动力，也是进行自然选择的唯一标准，它的设计应结合求解问题本身的要求而定。

2.4 遗传算子

我们希望有这样一个种群，它所包含的个体所对应的函数值都很接近于f(x)在[0,9]上的最大值，但是这个种群一开始可能不那么优秀，因为个体的染色体串是随机生成的。

如何让种群变得优秀呢？

不断的进化。

每一次进化都尽可能保留种群中的优秀个体，淘汰掉不理想的个体，并且在优秀个体之间进行染色体交叉，有些个体还可能出现变异。

种群的每一次进化，都会产生一个最优个体。种群所有世代的最优个体，可能就是函数f(x)最大值对应的定义域中的点。

如果种群无休止地进化，那总能找到最好的解。但实际上，我们的时间有限，通常在得到一个看上去不错的解时，便终止了进化。

对于给定的种群，如何赋予它进化的能力呢？

• 首先是选择(selection)
  
  • 选择操作是从前代种群中选择***多对***较优个体，一对较优个体称之为一对父母，让父母们将它们的基因传递到下一代，直到下一代个体数量达到种群数量上限
  • 在选择操作前，将种群中个体按照适应度从小到大进行排列
  • 采用轮盘赌选择方法（当然还有很多别的选择方法），各个个体被选中的概率与其适应度函数值大小成正比
  • 轮盘赌选择方法具有随机性，在选择的过程中可能会丢掉较好的个体，所以可以使用精英机制，将前代最优个体直接选择

• 其次是交叉(crossover)
  
  • 两个待交叉的不同的染色体(父母)根据交叉概率(cross_rate)按某种方式交换其部分基因
  • 采用单点交叉法，也可以使用其他交叉方法

• 最后是变异(mutation)
  
  • 染色体按照变异概率(mutate_rate)进行染色体的变异
  • 采用单点变异法，也可以使用其他变异方法

一般来说，交叉概率(cross_rate)比较大，变异概率(mutate_rate)极低。像求解函数最大值这类问题，我设置的交叉概率(cross_rate)是0.6，变异概率(mutate_rate)是0.01。

因为遗传算法相信2条优秀的父母染色体交叉更有可能产生优秀的后代，而变异的话产生优秀后代的可能性极低，不过也有存在可能一下就变异出非常优秀的后代。这也是符合自然界生物进化的特征的。

3.遗传算法流程

&lt;img src="https://pic2.zhimg.com/50/bbe28bbf296e4762e64867314b90bca3_hd.jpg" data-caption="" data-size="normal" data-rawwidth="1202" data-rawheight="1186" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="1202" data-original="https://pic2.zhimg.com/bbe28bbf296e4762e64867314b90bca3_r.jpg"&gt;

附上实现代码: genetic-algorithm

其中包含了遗传算法的 Matlab 实现和 Tensorflow 实现 (开发中)。

测试结果

• 最优个体：00011111011111011
• 最优适应度：24.8554
• 最优个体对应自变量值：7.8569
• 达到最优结果需要的迭代次数：多次实验后发现，达到收敛的迭代次数从20次到一百多次不等

迭代次数与平均适应度关系曲线（横轴：迭代次数，纵轴：平均适应度）

&lt;img src="https://pic1.zhimg.com/50/c4626ac1a2fea41ceb2f7face7764afe_hd.jpg" data-caption="" data-size="normal" data-rawwidth="954" data-rawheight="754" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="954" data-original="https://pic1.zhimg.com/c4626ac1a2fea41ceb2f7face7764afe_r.jpg"&gt;

有现成的工具可以直接使用遗传算法，比如 Matlab。
最后就再介绍一下如何在 Matlab 中使用遗传算法。

在 MATLAB 中使用 GA 工具

1. 打开 Optimization 工具，在 Solver 中选择 ga - genetic algorithm，在 Fitness function 中填入 @target

2. 在你的工程文件夹中新建 target.m，注意MATLAB的当前路径是你的工程文件夹所在路径

3. 在 target.m 中写下适应度函数，比如

function [ y ] = target(x)
y = -x-10*sin(5*x)-7*cos(4*x);
end

*MATLAB中的GA只求解函数的(近似)最小值，所以先要将目标函数取反。

4. 打开 Optimization 工具，输入 变量个数(Number of variables) 和 自变量定义域(Bounds) 的值，点击 Start，遗传算法就跑起来了。最终在输出框中可以看到函数的(近似)最小值，和达到这一程度的迭代次数(Current iteration)和最终自变量的值(Final point)

5. 在 Optimization - ga 工具中，有许多选项。通过这些选项，可以设置下列属性

• 种群(Population)
• 选择(Selection)
• 交叉(Crossover)
• 变异(Mutation)
• 停止条件(Stopping criteria)
• 画图函数(Plot functions)

Reference

• Alex Yu , 简单遗传算法MATLAB实现
• 《机器学习》/（美）米歇尔 （Mitchell, T. M.）著；曾华军等译. —北京：机械工业出版社。