数论 —— 最大公约数与最小公倍数

【概念】

1.公约数：有 k 个非零整数 ，若 ，s.t. ，则称 d 为  的公约数。

2.最大公约数：公约数中最大的一个数称为最大公约数，记为：

注：

  ① 最大公约数一定是存在的，其最小值为 1。

  ② 当 GCD=1 时，则称这些数是互质的。

  ③ 公约数一定是最大公约数的约数。

3.公倍数：有 k 个非零整数 ，若 ，s.t. ，则称 d 为  的公倍数。

4.最小公倍数：公倍数中最小的一个数称为最小公倍数，记为：

注：公倍数一定是最小公倍数的倍数。

【欧几里德算法】

欧几里德算法又称为辗转相除法，用于求两个数的最大公约数，其原理为：，即：

1.实现

int GCD(int x,int y){
    if(y==0)
        return x;
    else
        return GCD(y,x%y);
}

2.二进制算法

1）原理

为提高效率，可将欧几里德算法进行优化，通过不断去除因子 2 来降低常数。

• 当 时，
• 当 x、y 均为偶数时，
• 当 x 为偶数，y 为奇数时，
• 当 x 为奇数，x 为偶数时，

2）实现

int GCD(int x,int y){
    if(x==0)
        return y;
    if(y==0)
        return x;

    int i,j;
    for(i=0;!(x&1);i++)//约去2
        x>>=1;
    for(j=0;!(y&1);j++)//约去2
        y>>=1;
    if(i>j)
        i=j;

    while(true){
        if(x>=1;
    }
}

【扩展欧几里德算法】

扩展欧几里德算法是在已知 x、y 时，求解一组 a、b，使得

1.过程分析

设

① 当 时，，此时 

② 当 x>y>0 时

     设 ，

     由于 

     故 

     即 

     因此 

     易得  

这样就得到了求解 、 的方法：、 的值基于 、

由于 GCD 不断的递归求解，因此一定会在某时 ，结束递归，从而得出 a、b 的值。

注： x-[x/y]*y 即为 mod 运算，[x/y] 代表取小于 x/y 的最大整数。

2.实现

int Extended_GCD(int x,int y,int &a,int &b){
    if(y==0){
        a=1;
        b=0;
        return x;
    }

    int gcd=Extended_GCD(b,a%b,y,x);
    b-=a*(x/y);
    return gcd;
}
int main(){
    //形如 ax+by=GCD(x,y)
    int x,y,a,b;
    cin>>x>>y;
    int gcd=Extended_GCD(x,y,a,b);
    cout<<"GCD="<
 
  
在求 LCM 时，如果将 LCM 写成 a*b/GCD(a,b)，a*b 可能会溢出，正确的方法应该是先除后乘，即：a/GCD(a,b)*b
 
  
int GCD(int x,int y){
    return !y?x:GCD(y,x%y);
}
int LCM(int x,int y){
    return x/GCD(x,y)*y;
}
 
  
【例题】
 
  
 
   
取石子游戏（信息学奥赛一本通-T1218）(欧几里得)：点击这里
 
   
青蛙的约会（POJ-1061）(扩展欧几里得)：点击这里
 同题：青蛙的约会（洛谷-P1516）：点击这里
 
   
最大公约数和最小公倍数问题（洛谷-P1029）(LCM)：点击这里
 
   
LCM Walk（HDU-5584）(LCM+逆推)：点击这里
 
   
Happy 2006（POJ-2773）(扩展欧几里得求互素的数)：点击这里
 
   
LCM Challenge（CF-236C）(三个数的最大的LCM)：点击这里
 
   
Faraway（HDU-6639）(思维+LCM)：点击这里