军队文职(数学2+物理)——高等数学 7、导数的几何应用

1、单调性与极值

设 f ( x ) 在 ( a , b ) 内可导,若 ,则 f ( x ) 在 [ a , b ] 内单调增加(减少)

若,则 f (x)在[a,b]内单调不减(单调不增)

 极值：设函数 f(x)在(a,b)内有意义, 是(a,b)内的某一点，则如果存在一个点的邻域，
使得对此邻域内的任一点x(x≠)，

若 ，则称为函数 f(x)的一个极大值； 
若 ，则称为函数 f(x)的一个极小值；

称为函数 f(x)的一个极值点。

极值可能存在于驻点(一阶导数为0的点)或者一阶导数不存在的点

极值判定：

 第一充分条件：且左右异号，左增右减极大值，左减右增极小值。

 第二充分条件：且，极大值，极小值。

2、最大值与最小值

最值是函数在定义域或指定区间内的最大(最小)值。

求 f (x) 在上最大值和最小值方法：
①求出所有驻点和不可导点
②计算以及端点 f(a), f(b) 
③比较大小

3、凹凸性与拐点

凹凸区间：在(a,b)内，若恒有，则曲线y=f(x)在(a,b)内是凹的; 若恒有，则曲线y=f(x)在(a,b)内是凸的。 
拐点即曲线由凹变凸或由凸变凹的分界点。

拐点存在于的点或者二阶导数不存在的点

拐点判定：

 第一充分条件：且两侧异号，则为拐点。

 第二充分条件：且，则为拐点。

 

 

4、渐近线

1)铅直渐近线

若或，则x=a为曲线y=f(x)的一条铅直渐近线。

2)水平渐近线

若或，则y=b为曲线y=f(x)的一条水平渐近线。

3)斜渐近线

若,

或

则y=kx+b为f(x)的斜渐近线。

5、曲率圆