数据结构：二叉树

本章简介
　　树形结构是一类重要的非线性结构。树形结构是结点之间有分支，并具有层次关系的结构。它非常类似于自然界中的树。
　　树结构在客观世界中是大量存在的，例如家谱、行政组织机构都可用树形象地表示。
　　树在计算机领域中也有着广泛的应用，例如在编译程序中，用树来表示源程序的语法结构；在数据库系统中，可用树来组织信息；在分析算法的行为时，可用树来描述其执行过程。
　　本章重点讨论二叉树的存储表示及其各种运算，并研究一般树和森林与二叉树的转换关系，最后介绍树的应用实例。
树的概念 
1.家族树
　　在现实生活中，有入如下血统关系的家族可用树形图表示：
　　　　张源有三个孩子张明、张亮和张丽；
　　　　张明有两个孩子张林和张维；
　　　　张亮有三个孩子张平、张华和张群；
　　　　张平有两个孩子张晶和张磊。
　　以上表示很像一棵倒画的树。其中"树根"是张源，树的"分支点"是张明、张亮和张平，该家族的其余成员均是"树叶"，而树枝(即图中的线段)则描述了家族成员之间的关系。显然，以张源为根的树是一个大家庭。它可以分成张明、张亮和张丽为根的三个小家庭；每个小家庭又都是一个树形结构。
2.树的定义
    树的递归定义：
      树(Tree)是n(n≥0)个结点的有限集T，T为空时称为空树，否则它满足如下两个条件：
(1)有且仅有一个特定的称为根(Root)的结点；
(2)其余的结点可分为m(m≥0)个互不相交的子集T_l，T₂，…，T_m，其中每个子集本身又是一棵树，并称其为根的子树(Subree)。
　　　　　　
  注意： 
    　树的递归定义刻画了树的固有特性：一棵非空树是由若干棵子树构成的，而子树又可由若干棵更小的子树构成。

3.树的表示
（1）树形图表示
　　树形图表示是树结构的主要表示方法。
　　树的树形图表示中：结点用圆圈表示，结点的名字写在圆圈旁边（有时亦可写在圆圈内）。

   
　　用该定义来分析上图(a)所示的树： 
　　图中的树由结点的有限集T={A，B，C，D，E，F，C，H，I，J}所构成，其中A是根结点，T中其余结点可分成三个互不相交的子集：
          T₁={B，E，F，I，J}，
          T₂={C}，
          T₃={D，G，H}。
    T₁、T₂和T₃是根A的三棵子树，且本身又都是一棵树。例如T₁，其根为B，其余结点可分为两个互不相交的的子集T₁₁={E}和T₁₂={F，I，J}，它们都是B的子树。显然T₁₁是只含一个根结点E的树，而T₁₂的根F又有两棵互不相交的子树{I}和{J}，其本身又都是只含一个根结点的树。
　　
（2）树的其他表示法
① 嵌套集合表示法
    　是用集合的包含关系来描述树结构。
  上图(a)树的嵌套集合表示法如图(b)
       
② 凹入表表示法
    　类似于书的目录，上图(a)树的凹入表示法如图(c)

③ 广义表表示法
    　用广义表的形式表示的。上图(a)树的广义表表示法如图(d)
　　（A（B（E，F（I，J）），C，D（G，H）））

　　用该定义来分析上图(a)所示的树： 
　　图中的树由结点的有限集T={A，B，C，D，E，F，C，H，I，J}所构成，其中A是根结点，T中其余结点可分成三个互不相交的子集：
          T1={B，E，F，I，J}，
          T2={C}，
          T3={D，G，H}。
　　T1、T2和T3是根A的三棵子树，且本身又都是一棵树。例如T1，其根为B，其余结点可分为两个互不相交的的子集T11={E}和T12={F，I，J}，它们都是B的子树。显然T11是只含一个根结点E的树，而T12的根F又有两棵互不相交的子树{I}和{J}，其本身又都是只含一个根结点的树。
　　
（2）树的其他表示法
① 嵌套集合表示法
　　是用集合的包含关系来描述树结构。
　上图(a)树的嵌套集合表示法如图(b)
       
② 凹入表表示法
　　类似于书的目录，上图(a)树的凹入表示法如图(c)

③ 广义表表示法
　　用广义表的形式表示的。上图(a)树的广义表表示法如图(d)
　　（A（B（E，F（I，J）），C，D（G，H）））

4.树结构的基本术语 
（1）结点的度(Degree) 
　　树中的一个结点拥有的子树数称为该结点的度(Degree)。
　　一棵树的度是指该树中结点的最大度数。
　　度为零的结点称为叶子(Leaf)或终端结点。
　　度不为零的结点称分支结点或非终端结点。
　　除根结点之外的分支结点统称为内部结点。
　　根结点又称为开始结点。

（2）孩子(Child)和双亲(Parents)
　　树中某个结点的子树之根称为该结点的孩子(Child)或儿子，相应地，该结点称为孩子的双亲(Parents)或父亲。
　　同一个双亲的孩子称为兄弟(Sibling)。

（3）祖先(Ancestor)和子孙(Descendant)
①路径（path）
　　若树中存在一个结点序列k1，k2，…，ki，使得ki是ki+1的双亲(1≤i　　路径的长度指路径所经过的边(即连接两个结点的线段)的数目，等于j-1。
　注意：
　　若一个结点序列是路径，则在树的树形图表示中，该结点序列"自上而下"地通过路径上的每条边。
　　从树的根结点到树中其余结点均存在一条惟一的路径。

②祖先(Ancestor)和子孙(Descendant)
　　若树中结点k到ks存在一条路径，则称k是ks的祖先(Ancestor)，ks是k的子孙(Descendant)。
　　一个结点的祖先是从根结点到该结点路径上所经过的所有结点，而一个结点的子孙则是以该结点为根的子树中的所有结点。
　约定：
　　结点k的祖先和子孙不包含结点k本身。

（4）结点的层数(Level)和树的高度（Height）
　　结点的层数(Level)从根起算：
　　　根的层数为1
　　　其余结点的层数等于其双亲结点的层数加1。
　　双亲在同一层的结点互为堂兄弟。
　　树中结点的最大层数称为树的高度(Height)或深度(Depth)。
  注意，
　　很多文献中将树根的层数定义为0。

（5）有序树(OrderedTree)和无序树(UnoderedTree)
　　若将树中每个结点的各子树看成是从左到右有次序的(即不能互换)，则称该树为有序树(OrderedTree)；否则称为无序树(UnoderedTree)。
　注意：
　　若不特别指明，一般讨论的树都是有序树。

（6）森林(Forest)
　　森林(Forest)是m(m≥0)棵互不相交的树的集合。
　　树和森林的概念相近。删去一棵树的根，就得到一个森林；反之，加上一个结点作树根，森林就变为一棵树。

5.树形结构的逻辑特征
　　树形结构的逻辑特征可用树中结点之间的父子关系来描述：
（1） 树中任一结点都可以有零个或多个直接后继(即孩子)结点，但至多只能有一个直接前趋(即双亲)结点。
（2） 树中只有根结点无前趋，它是开始结点；叶结点无后继，它们是终端结点。
（3） 祖先与子孙的关系是对父子关系的延拓，它定义了树中结点之间的纵向次序。
（4） 有序树中，同一组兄弟结点从左到右有长幼之分。
　　对这一关系加以延拓，规定若k1和k2是兄弟，且k1在k2的左边，则kl的任一子孙都在k2的任一子孙的左边，那么就定义了树中结点之间的横向次序。

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