数据结构:二叉树

本章简介
  树形结构是一类重要的非线性结构。树形结构是结点之间有分支,并具有层次关系的结构。它非常类似于自然界中的树。
  树结构在客观世界中是大量存在的,例如家谱、行政组织机构都可用树形象地表示。
  树在计算机领域中也有着广泛的应用,例如在编译程序中,用树来表示源程序的语法结构;在数据库系统中,可用树来组织信息;在分析算法的行为时,可用树来描述其执行过程。
  本章重点讨论二叉树的存储表示及其各种运算,并研究一般树和森林与二叉树的转换关系,最后介绍树的应用实例。
树的概念 
1.家族树
  在现实生活中,有入如下血统关系的家族可用树形图表示:
    张源有三个孩子张明、张亮和张丽;
    张明有两个孩子张林和张维;
    张亮有三个孩子张平、张华和张群;
    张平有两个孩子张晶和张磊。
  以上表示很像一棵倒画的树。其中"树根"是张源,树的"分支点"是张明、张亮和张平,该家族的其余成员均是"树叶",而树枝(即图中的线段)则描述了家族成员之间的关系。显然,以张源为根的树是一个大家庭。它可以分成张明、张亮和张丽为根的三个小家庭;每个小家庭又都是一个树形结构。
数据结构:二叉树_第1张图片2.树的定义
    树的递归定义:
      树(Tree)是n(n≥0)个结点的有限集T,T为空时称为空树,否则它满足如下两个条件:
(1)有且仅有一个特定的称为根(Root)的结点;
(2)其余的结点可分为m(m≥0)个互不相交的子集Tl,T2,…,Tm,其中每个子集本身又是一棵树,并称其为根的子树(Subree)。
      
  注意: 
     树的递归定义刻画了树的固有特性:一棵非空树是由若干棵子树构成的,而子树又可由若干棵更小的子树构成。

3.树的表示
(1)树形图表示
  树形图表示是树结构的主要表示方法。
  树的树形图表示中:结点用圆圈表示,结点的名字写在圆圈旁边(有时亦可写在圆圈内)。

   数据结构:二叉树_第2张图片
  用该定义来分析上图(a)所示的树: 
  图中的树由结点的有限集T={A,B,C,D,E,F,C,H,I,J}所构成,其中A是根结点,T中其余结点可分成三个互不相交的子集:
          T1={B,E,F,I,J},
          T2={C},
          T3={D,G,H}。
    T1、T2和T3是根A的三棵子树,且本身又都是一棵树。例如T1,其根为B,其余结点可分为两个互不相交的的子集T11={E}和T12={F,I,J},它们都是B的子树。显然T11是只含一个根结点E的树,而T12的根F又有两棵互不相交的子树{I}和{J},其本身又都是只含一个根结点的树。
  
(2)树的其他表示法
① 嵌套集合表示法
     是用集合的包含关系来描述树结构。
  上图(a)树的嵌套集合表示法如图(b)
       
② 凹入表表示法
     类似于书的目录,上图(a)树的凹入表示法如图(c)

③ 广义表表示法
     用广义表的形式表示的。上图(a)树的广义表表示法如图(d)
  (A(B(E,F(I,J)),C,D(G,H)))

  用该定义来分析上图(a)所示的树: 
  图中的树由结点的有限集T={A,B,C,D,E,F,C,H,I,J}所构成,其中A是根结点,T中其余结点可分成三个互不相交的子集:
          T1={B,E,F,I,J},
          T2={C},
          T3={D,G,H}。
  T1、T2和T3是根A的三棵子树,且本身又都是一棵树。例如T1,其根为B,其余结点可分为两个互不相交的的子集T11={E}和T12={F,I,J},它们都是B的子树。显然T11是只含一个根结点E的树,而T12的根F又有两棵互不相交的子树{I}和{J},其本身又都是只含一个根结点的树。
  
(2)树的其他表示法
① 嵌套集合表示法
  是用集合的包含关系来描述树结构。
 上图(a)树的嵌套集合表示法如图(b)
       
② 凹入表表示法
  类似于书的目录,上图(a)树的凹入表示法如图(c)

③ 广义表表示法
  用广义表的形式表示的。上图(a)树的广义表表示法如图(d)
  (A(B(E,F(I,J)),C,D(G,H)))

4.树结构的基本术语 
(1)结点的度(Degree) 
  树中的一个结点拥有的子树数称为该结点的度(Degree)。
  一棵树的度是指该树中结点的最大度数。
  度为零的结点称为叶子(Leaf)或终端结点。
  度不为零的结点称分支结点或非终端结点。
  除根结点之外的分支结点统称为内部结点。
  根结点又称为开始结点。

(2)孩子(Child)和双亲(Parents)
  树中某个结点的子树之根称为该结点的孩子(Child)或儿子,相应地,该结点称为孩子的双亲(Parents)或父亲。
  同一个双亲的孩子称为兄弟(Sibling)。

(3)祖先(Ancestor)和子孙(Descendant)
①路径(path)
  若树中存在一个结点序列k1,k2,…,ki,使得ki是ki+1的双亲(1≤i  路径的长度指路径所经过的边(即连接两个结点的线段)的数目,等于j-1。
 注意:
  若一个结点序列是路径,则在树的树形图表示中,该结点序列"自上而下"地通过路径上的每条边。
  从树的根结点到树中其余结点均存在一条惟一的路径。

②祖先(Ancestor)和子孙(Descendant)
  若树中结点k到ks存在一条路径,则称k是ks的祖先(Ancestor),ks是k的子孙(Descendant)。
  一个结点的祖先是从根结点到该结点路径上所经过的所有结点,而一个结点的子孙则是以该结点为根的子树中的所有结点。
 约定:
  结点k的祖先和子孙不包含结点k本身。

(4)结点的层数(Level)和树的高度(Height)
  结点的层数(Level)从根起算:
   根的层数为1
   其余结点的层数等于其双亲结点的层数加1。
  双亲在同一层的结点互为堂兄弟。
  树中结点的最大层数称为树的高度(Height)或深度(Depth)。
  注意,
  很多文献中将树根的层数定义为0。

(5)有序树(OrderedTree)和无序树(UnoderedTree)
  若将树中每个结点的各子树看成是从左到右有次序的(即不能互换),则称该树为有序树(OrderedTree);否则称为无序树(UnoderedTree)。
 注意:
  若不特别指明,一般讨论的树都是有序树。

(6)森林(Forest)
  森林(Forest)是m(m≥0)棵互不相交的树的集合。
  树和森林的概念相近。删去一棵树的根,就得到一个森林;反之,加上一个结点作树根,森林就变为一棵树。

5.树形结构的逻辑特征
  树形结构的逻辑特征可用树中结点之间的父子关系来描述:
(1) 树中任一结点都可以有零个或多个直接后继(即孩子)结点,但至多只能有一个直接前趋(即双亲)结点。
(2) 树中只有根结点无前趋,它是开始结点;叶结点无后继,它们是终端结点。
(3) 祖先与子孙的关系是对父子关系的延拓,它定义了树中结点之间的纵向次序。
(4) 有序树中,同一组兄弟结点从左到右有长幼之分。
  对这一关系加以延拓,规定若k1和k2是兄弟,且k1在k2的左边,则kl的任一子孙都在k2的任一子孙的左边,那么就定义了树中结点之间的横向次序。

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