Java数据结构 二叉树
树型机构
树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树，是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的
特点：
- 有一个特殊的节点，称为根节点，根节点没有前驱节点
- 除根节点外，其余节点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、…、Tm，其中每一个集合Ti (1 <= i <= m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根节点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
- 树是递归定义的
概念
节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度
树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度
叶子节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点
双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点
孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点
根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点
节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推
树的高度或深度：树中节点的最大层次
非终端节点或分支节点：度不为0的节点
兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点
堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟
节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点
子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙
森林：由m（m>=0）棵互不相交的树的集合称为森林
二叉树（重点）
概念
一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合或者为空，或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成
特点：
- 每个节点最多有两颗子树即二叉树不存在度大于 2 的结点。
- 二叉树的子树有左右之分，其子树的次序不能颠倒，因此二叉树是有序树。
二叉树的基本形态
两种特殊的二叉树
满二叉树
一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是 2 k − 1 2^k-1 2k−1 ，则它就是满二叉树
完全二叉树
完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。
二叉树的性质
- 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 2 i − 1 2^{i-1} 2i−1(i>0)个结点
- 若规定只有根节点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是 2 k − 1 2^k-1 2k−1(k>=0)
- 对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1
- 具有n个结点的完全二叉树的深度k为 l o g 2 ( n + 1 ) log_2(n+1) log2(n+1)上取整
- 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：
- 若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点
- 若2i+1
- 若2i+2
二叉树的存储
二叉树的存储结构分为：顺序存储和类似于链表的链式存储
class Node {
int val; // 数据域
Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
}
二叉树的基本操作
二叉树的遍历
所谓遍历(Traversal)是指沿着某条搜索路线，依次对树中每个结点均做一次且仅做一次访问。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题(比如：打印节点内容、节点内容加1)。 遍历是二叉树上最重要的操作之一，是二叉树上进行其它运算之基础
在遍历二叉树时，如果没有进行某种约定，每个人都按照自己的方式遍历，得出的结果就比较混乱，如果按照某种规则进行约定，则每个人对于同一棵树的遍历结果肯定是相同的。如果N代表根节点，L代表根节点的左子树，R代表根节点的右子树，则根据遍历根节点的先后次序有以下遍历方式：
- NLR：前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点—>根的左子树—>根的右子
树。 - LNR：中序遍历(Inorder Traversal)——根的左子树—>根节点—>根的右子树。
- LRN：后序遍历(Postorder Traversal)——根的左子树—>根的右子树—>根节点。
由于被访问的结点必是某子树的根，所以N(Node）、L(Left subtree）和R(Right subtree）又可解
释为根、根的左子树和根的右子树。NLR、LNR和LRN分别又称为先根遍历、中根遍历和后根遍历
二叉树的基本操作
先序遍历
public static void preOrderTraversal(TreeNode root) {
if (root == null) {
return;
}
System.out.print(root.val + " ");
preOrderTraversal(root.left);
preOrderTraversal(root.right);
}
中序遍历
public static void inOrderTraversal(TreeNode root) {
if (root == null) {
return;
}
inOrderTraversal(root.left);
System.out.print(root.val + " ");
inOrderTraversal(root.right);
}
后序遍历
public static void postOrderTraversal(TreeNode root) {
if (root == null) {
return;
}
postOrderTraversal(root.left);
postOrderTraversal(root.right);
System.out.print(root.val + " ");
}
求节点个数（遍历思路）
public static int getSize(TreeNode root) {
if (root == null) {
return 0;
}
return 1 + getSize(root.left) + getSize(root.right);
}
求节点个数（子问题思路）
public static int num = 0;
public static void getSize0(TreeNode root) {
if (root == null) {
return;
}
num++;
getSize0(root.left);
getSize0(root.right);
}
求叶子节点个数（遍历思路）
public static int getLeafSize(TreeNode root) {
if (root == null) {
return 0;
}
if (root.left == null && root.right == null) {
return 1;
}
return getLeafSize(root.left) + getLeafSize(root.right);
}
求叶子节点个数（子问题思路）
public static int num2 = 0;
public static void getLeafSize2(TreeNode root) {
if (root == null) {
return;
}
if (root.left == null && root.right == null) {
num2++;
}
getLeafSize2(root.left);
getLeafSize2(root.right);
}
求第 k 层结点个数（子问题思路）
public static int getKLevelSize(TreeNode root, int k) {
if (root == null) {
return 0;
}
if (k == 1) {
return 1;
}
return getKLevelSize(root.left, k - 1) + getKLevelSize(root.right, k - 1);
}
获取二叉树的高度
public static int getHeight(TreeNode root) {
if (root == null) {
return 0;
}
if (root.left == null && root.right == null) {
return 1;
}
int a = getHeight(root.left);
int b = getHeight(root.right);
return 1 + (a > b ? a : b);
}
查找节点位置
public static TreeNode find(TreeNode root, int val) {
if (root == null) {
return null;
}
if (root.val == val) {
return root;
}
TreeNode result = find(root.left, val);
if (result != null) {
return result;
}
return find(root.right, val);
}
二叉树的层序遍历
设二叉树的根节点所在层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第2层上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。
// 由于二叉树层序的特殊，需要借助队列完成二叉树的层序遍历
// 1. 取出队首元素
// 2. 访问这个元素
// 3. 把这个取出的元素的左子树入队列（非空），右子树入队列（非空）
// 4. 重复执行操作 1
// 队列为空的时候，遍历结束
public static void levelOrderTraversal(TreeNode root) {
if (root == null) {
return;
}
Queue<TreeNode> s = new LinkedList<>();
s.offer(root);
while (true) {
TreeNode cur = s.poll();
if (cur == null) {
break;
}
System.out.print(cur.val + " ");
if (cur.left != null) {
s.offer(cur.left);
}
if (cur.right != null) {
s.offer(cur.right);
}
}
}
判断是不是完全二叉树
- 针对二叉树进行层序遍历
- 遍历过程中针对二叉数判定要分成共两个阶段看待
- 第一个阶段，要求每个节点必须有两个子树，如果遇到某个节点只有左子树或者没有子树，则进入第二阶段；如果遇到某个节点只有右子树，那么直接认为这个树不是完全二叉树
- 第二阶段，要求每个节点必须没有子树，如果发现某个节点有子树，则不是完全二叉树
public static boolean isCompleteTree(TreeNode root) {
if (root == null) {
return true;
}
boolean isLevel = false;
Queue<TreeNode> s = new LinkedList<>();
s.offer(root);
while (true) {
TreeNode cur = s.poll();
if (cur == null) {
break;
}
if (!isLevel) {
if (cur.left != null && cur.right != null) {
s.offer(cur.left);
s.offer(cur.right);
}
if (cur.left != null && cur.right == null) {
s.offer(cur.left);
isLevel = true;
}
if (cur.left == null && cur.right != null) {
return false;
}
if (cur.left == null && cur.right == null) {
isLevel = true;
}
} else {
if (cur.left != null || cur.right != null) {
return false;
}
}
}
return true;
}
前中后序遍历的非递归实现
前序 / 先序遍历
public List<Integer> preorderTraversal(TreeNode root) {
List<Integer> result = new ArrayList<>();
Stack<TreeNode> stack = new Stack<>();
if (root == null) {
return result;
}
stack.push(root);
while (!stack.isEmpty()) {
TreeNode cur = stack.pop();
result.add(cur.val);
if (cur.right != null) {
stack.push(cur.right);
}
if (cur.left != null) {
stack.push(cur.left);
}
}
return result;
}
中序遍历
public List<Integer> inorderTraversal(TreeNode root) {
List<Integer> result = new ArrayList<>();
Stack<TreeNode> stack = new Stack<>();
if (root == null) {
return result;
}
TreeNode cur = root;
while (true) {
while (cur != null) {
stack.push(cur);
cur = cur.left;
}
if (stack.isEmpty()) {
break;
}
TreeNode top = stack.pop();
result.add(top.val);
cur = top.right;
}
return result;
}
后序遍历
public List<Integer> postorderTraversal(TreeNode root) {
List<Integer> result = new ArrayList<>();
Stack<TreeNode> stack = new Stack<>();
if (root == null) {
return result;
}
TreeNode cur = root;
TreeNode prev = null;
while (true) {
while (cur != null) {
stack.push(cur);
cur = cur.left;
}
if (stack.isEmpty()) {
break;
}
TreeNode top = stack.peek();
if (top.right == null || prev == top.right) {
result.add(top.val);
prev = top;
stack.pop();
} else {
cur = top.right;
}
}
return result;
}