数据结构之堆的介绍
目录
前言
1. 树的相关知识
1.1 树的概念
1.2.树的相关概念
2. 二叉树的相关知识
2.1二叉树的概念
2.2 特殊的二叉树
2.3 二叉树的性质
2.4二叉树的存储结构
2.4.1 顺序存储结构
2.4.2 链式存储结构
3.堆的概念
4.堆的实现
4.1堆的结构
4.2 堆的构建
4.3 堆的插入
4.4 堆的删除
4.5 取堆顶的数据
4.6 堆的数据个数
4.7 堆的判空
4.8 堆的销毁
5. 堆的实现测试
总代码：
前言
今天小编给大家带来的是数据结构中有关与堆的介绍，但由于堆的结构实际上是一棵完全二叉树，所以在介绍堆前小编需要给大家先讲解一下树以及二叉树的基本概念，以便大家后续理解。
1. 树的相关知识
1.1 树的概念
树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i<= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继因此，树是递归定义的。
注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构
1.2.树的相关概念
节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的为6
叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I...等节点为叶节点
非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G...等节点为分支节点
双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点
孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点
兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点
树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6
节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4
堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点
节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先
子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙
森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林
（任何一棵树都是由根和该子树构成）
2. 二叉树的相关知识
2.1二叉树的概念
概念：一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合:
1. 或者为空
2. 由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成
例如：
从上面可以看出：
1. 二叉树不存在度大于2的结点
2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树
2.2 特殊的二叉树
1. 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是2^(k-1)，则它就是满二叉树。节点总数是（2^k-1）
2. 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树
2.3 二叉树的性质
2.4二叉树的存储结构
2.4.1 顺序存储结构
从上面我们可以看出顺序存储只适用于完全二叉树的存储，如是非完全二叉树在某些层面上会导致很大程度上的空间浪费。
2.4.2 链式存储结构
3.堆的概念
4.堆的实现
4.1堆的结构
由于堆分为大堆和小堆，这里小编给大家展示的的是大堆的实现思路（小堆的实现思路与大堆一致大家可以在理解的基础上根据自己的需要更改）。
由于堆是一棵完全二叉树，所以在存储堆时，我们采用的是顺序存储的方式，所以我们所采用的堆的结构是
typedef int HPDataType;
typedef struct Heap
{
HPDataType* _a;
int _size;
int _capacity;
}Heap;这里我们和之前采取利用顺序表存储的结构一致，这里我们用_size存储有效数据的个数，_capacity存储顺序表的容量大小，给出一个指针以便我们之后对数组进行动态开展。
4.2 堆的构建
void HeapCreate(Heap* hp)
{
assert(hp);
hp->_a = (HPDataType*)malloc(sizeof(HPDataType) * 4);
if (hp->_a == NULL)
{
perror("malloc fail");
return;
}
hp->_size = 0;
hp->_capacity = 4;
}这里堆的构建，实际上也是对堆进行一个初始化操作， 这里我们申请一个初始容量为4的一个数组大小，由于初始化过程中我们并没有在顺序表中存储元素，所以我们需要将_size赋值为0，_capacity赋初始值为4。
4.3 堆的插入
在介绍大堆插入前我需要给大家先讲解一下堆的向上调整算法，这里我们先给出代码然后给大家细细讲解
首先对于堆的向上调整算法我们这里有个前提就是我们这里的结构就是我们之前的结构就是一个堆的结构
原理：堆新增一个数后，要让其继续为堆需要，应将新增数据和该祖先节点进行不断比较，为了保证堆的存在，我们需要适当的将其的位置进行互换
void Adjustup(HPDataType*a,int child)
{
int parent = (child - 1) / 2;
while (child > 0)
{
if (a[child] > a[parent])
{
swop(&a[child], &a[parent]);
child = parent;
parent = (child - 1) / 2;
}
else
{
break;
}
}
}这里还有一个我们需要使用到的交换函数
void swop(HPDataType* p, HPDataType* q)
{
HPDataType temp;
temp = *p;
*p = *q;
*q = temp;
}首先我给大家介绍一下原理，这里首先我给大家一个大堆结构
这里80表示的是我们要新插入的节点，利用向上调整第一次我们得到的结果是
那么最后我们得到的是：
根据每一次的调整我们都可以发现这个我们新添加的数如果大于他的父节点就需要和父节点交换位置，直到该符合了堆的定义。
那么这里的代码表示的是
那么对于插入操作我想大家也基本明白了一个大概，这里我们直接看代码
void HeapPush(Heap* hp, HPDataType x)
{
assert(hp);
if (hp->_capacity == hp->_size)
{
HPDataType* temp = (HPDataType*)realloc(hp->_a,sizeof(HPDataType) * (hp->_capacity) * 2);
if (temp == NULL)
{
perror("realloc fail");
return;
}
hp->_a = temp;
hp->_capacity =hp->_capacity*2;
}
hp->_a[hp->_size] = x;
hp->_size++;
Adjustup(hp->_a, hp->_size - 1);
}和之前的老套路，当顺序表已经满的时候我们需要进行增容操作，然后我们直接将新插入的值放置在_size所表示的位置处即可，新增后也需要我们对_size进行++操作，这里由于数组是从0开始计数的，所以我们新插入的数也在数组中的位置也就是_size-1处。
4.4 堆的删除
对于堆的删除，我们就要使用到向下调整算法，那什么是向下调整算法呢？我们下面看定义
对于向下调整算法这里我们也有一个大前提就是：左右子树必须是一个堆，才能调整。
原理是：从堆顶开始，如果堆顶元素小于或大于（大于或者大于由大堆小堆决定）该孩子，让堆顶和它最大（最小）的孩子互换，一直重复该操作，直到该全部符合了堆的这个结构。
这里我们先看代码
void Adjustdown(HPDataType* a, int size)
{
int parent=0;
int child = 2 * parent + 1;
while (child < size)
{
if (child+1这里我给大家举个例子说明一下
首先堆顶元素的为5，小于该子节点，那么在该左右孩子中我们发现70这个节点是最大的那么，我们就让70这个节点和我们的5进行互换，得到的是：
这里我们继续看到5这个节点，这里和该左右孩子进行比价，发现5是小于该左右孩子的，那么就让5和它最大的孩子进行互换，该最大的孩子节点是30，那么我们得到的是：
这里就可以发现我们得到了一个完整的堆结构。
这里给大家详细解释一下向下调整算法的代码
那么向下调整算法和我们的删除操作又有着什么关系呢？首先我们要判断堆的删除的意义，如果我们只是单纯的删除最后一个元素我们可以发现我们的删除是不具备任何意义的，但是如果我们删除的是堆顶元素，我们就可以让第二大的元素排列到堆顶，那么这和现实意义的排序的一个物品是一样的意思。
那我们这里进行删除操作是，首先我们将堆顶元素和堆的最后一个元素进行互换，然后将堆的最后一个元素进行删除操作，然后利用堆的向下调整算法，将现在这个状态的数据恢复堆这个数据结构的定义即可。
那么下面我们看代码
void HeapPop(Heap* hp)
{
assert(hp);
swop(&hp->_a[0], &hp->_a[hp->_size - 1]);
hp->_size--;
Adjustdown(hp->_a, hp->_size);
}首先我们先更换堆顶和堆最后一个元素的值，然后_size--删除最后一个元素，然后我们通过向下调整算法就恢复了我们堆的结构，然后就完成了我们的删除操作。
4.5 取堆顶的数据
HPDataType HeapTop(Heap* hp)
{
assert(hp);
return hp->_a[0];
}4.6 堆的数据个数
int HeapSize(Heap* hp)
{
assert(hp);
return hp->_size;
}4.7 堆的判空
bool HeapEmpty(Heap* hp)
{
assert(hp);
return hp->_size == 0;
}4.8 堆的销毁
void HeapDestory(Heap* hp)
{
assert(hp);
free(hp->_a);
hp->_a = NULL;
hp->_capacity = 0;
hp->_size = 0;
}5. 堆的实现测试
#include"Heap.h"
void text1()
{
Heap hp;
HeapCreate(&hp);
HeapPush(&hp, 1);
HeapPush(&hp, 2);
HeapPush(&hp, 134);
HeapPush(&hp, 123);
HeapPush(&hp, 12);
HeapPush(&hp, 14);
HeapPush(&hp, 23);
HeapPush(&hp, 21);
while (!HeapEmpty(&hp))
{
printf("%d ", HeapTop(&hp));
HeapPop(&hp);
}
HeapDestory(&hp);
}
int main()
{
text1();
return 0;
}这里大家看输出结果：
这里可以看到我们数据是符合大堆的结构输出的。
总代码：
Heap.h
#include
#include
#include
#include
typedef int HPDataType;
typedef struct Heap
{
HPDataType* _a;
int _size;
int _capacity;
}Heap;
// 大堆的构建
void HeapCreate(Heap* hp);
// 大堆的销毁
void HeapDestory(Heap* hp);
// 大堆的插入
void HeapPush(Heap* hp, HPDataType x);
// 大堆的删除
void HeapPop(Heap* hp);
// 取堆顶的数据
HPDataType HeapTop(Heap* hp);
// 堆的数据个数
int HeapSize(Heap* hp);
// 堆的判空
bool HeapEmpty(Heap* hp);
Heap.c
#include"Heap.h"
void HeapCreate(Heap* hp)
{
assert(hp);
hp->_a = (HPDataType*)malloc(sizeof(HPDataType) * 4);
if (hp->_a == NULL)
{
perror("malloc fail");
return;
}
hp->_size = 0;
hp->_capacity = 4;
}
void swop(HPDataType* p, HPDataType* q)
{
HPDataType temp;
temp = *p;
*p = *q;
*q = temp;
}
void Adjustup(HPDataType*a,int child)
{
int parent = (child - 1) / 2;
while (child > 0)
{
if (a[child] > a[parent])
{
swop(&a[child], &a[parent]);
child = parent;
parent = (child - 1) / 2;
}
else
{
break;
}
}
}
void HeapPush(Heap* hp, HPDataType x)
{
assert(hp);
if (hp->_capacity == hp->_size)
{
HPDataType* temp = (HPDataType*)realloc(hp->_a,sizeof(HPDataType) * (hp->_capacity) * 2);
if (temp == NULL)
{
perror("realloc fail");
return;
}
hp->_a = temp;
hp->_capacity =hp->_capacity*2;
}
hp->_a[hp->_size] = x;
hp->_size++;
Adjustup(hp->_a, hp->_size - 1);
}
void Adjustdown(HPDataType* a, int size)
{
int parent=0;
int child = 2 * parent + 1;
while (child < size)
{
if (child+1_a[0], &hp->_a[hp->_size - 1]);
hp->_size--;
Adjustdown(hp->_a, hp->_size);
}
HPDataType HeapTop(Heap* hp)
{
assert(hp);
return hp->_a[0];
}
int HeapSize(Heap* hp)
{
assert(hp);
return hp->_size;
}
bool HeapEmpty(Heap* hp)
{
assert(hp);
return hp->_size == 0;
}
void HeapDestory(Heap* hp)
{
assert(hp);
free(hp->_a);
hp->_a = NULL;
hp->_capacity = 0;
hp->_size = 0;
}