2019-11-09 正定矩阵的一些常见概念

概念

1. 正定一定对称，对称不一定正定
2. 特征值均为正，不能说此矩阵为正定阵，必须同时满足对称才能叫正定阵
3. 正定阵一定是对称的，可逆的，非奇异，满秩的（正定阵一定对称，且特征值均正，对称阵相似于对角阵，因此正定阵相似于主对角线均正的对角阵，因此可逆）
4. 正定阵的对角线元素一定大于0，但其他元素不一定大于0
5. 正定阵的2范数，是它的最大特征值
6. 两个正定阵的乘积不一定是正定阵，因为对称乘对称不一定对称，只有满足 $AB=BA$ 时，两个正定阵的乘积才是正定阵
7. 一个正定阵一定可以表示成2个正定阵的乘积

正定二次型的概念

设有$n$元实二次型$f={\mathbf{x}}^T\mathbf{A}\mathbf{x}$，如果对任意的$\mathbf{x}\ne 0$都有：

1. $f>0$，则称$f$为正定二次型，并称实对称矩阵$\mathbf{A}$为正定矩阵；
2. $f<0$，则称$f$为负定二次型，并称实对称矩阵$\mathbf{A}$为负定矩阵；
3. $f\ge 0$，则称$f$为半正定二次型，并称实对称矩阵$\mathbf{A}$为半正定矩阵；
4. $f\le 0$，则称$f$为半负定二次型，并称实对称矩阵$\mathbf{A}$为半负定矩阵；
5. 既不满足3，又不满足4，则称$f$为不定二次型，并称实对称矩阵$\mathbf{A}$为不定矩阵；

结论

1. 从二次型的概念中看出，正定、负定、半正定、半负定、不定矩阵均是在实对称矩阵的基础上进行定义的，因此只要讲正定、负定、半正定、半负定、不定矩阵，便默认其为实对称矩阵。

2. 另外，不对称的矩阵的特征值也可能全正，但是因为不是对称阵，只能叫“特征值全为正的矩阵”，而不能叫正定阵。

3. 反对称阵的二次型一定是0，而任意方阵都能写成一个对称阵和一个反对称阵的和，所以把正定阵的定义推广到一般方阵是没意义的。

4. 正定矩阵的顺序主子式，任意主子式都是正的。

参考文献：
https://wenku.baidu.com/view/d970b3641eb91a37f1115c3f.html