高中奥数 2021-12-23

2021-12-23-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷复数与向量张思汇复数与向量的应用 P071 例7）

凸四边形的对角线交于点,点、分别是和的重心,、分别是和的垂心.求证:.

分析与解

以任意点为原点,利用向量证明.

$\begin{aligned} \overrightarrow{SR} \cdot \overrightarrow{PQ}=&(\overrightarrow{S M}+\overrightarrow{MR}) \cdot(\overrightarrow{Q}-\overrightarrow{P}) \\ =&(\overrightarrow{S M}+\overrightarrow{MR}) \cdot \frac{1}{3} \cdot(\overrightarrow{B}+\overrightarrow{M}+\overrightarrow{C}-\overrightarrow{A}-\overrightarrow{D}-\overrightarrow{M}) \\ =& \frac{1}{3}(\overrightarrow{S M}+\overrightarrow{M R})\cdot(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}) \\ =& \frac{1}{3}(\overrightarrow{SM} \cdot \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{SM} \cdot \overrightarrow{DC}+\overrightarrow{MR} \cdot \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{MR} \cdot \overrightarrow{DC}) \\ =& \frac{1}{3}(\overrightarrow{SM} \cdot \overrightarrow{DC}+\overrightarrow{MR} \cdot \overrightarrow{AB}) \\ =& \frac{1}{3}\left[\left|SM\right| \cdot\left|DC\right| \cdot \cos \left(\frac{3}{2} \pi-\angle ADC-\angle DAB\right)+\left|MR\right| \cdot\left|AB\right| \cdot \cos \left(\angle ADC+\angle DAB-\dfrac{\pi}{2}\right)\right] \\ =& \frac{1}{3}\left(\left|AB\right| \cdot \cot \angle AMB \cdot\left|DC\right|-\cot \angle DMC \cdot\left|CD\right| \cdot \left|AB\right|\right) \cdot \cos \left(\frac{3}{2} \pi-\angle ADC-\angle DAB\right) \\ =& 0 . \end{aligned}$

所以,命题成立,证毕.

2021-12-23-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷复数与向量张思汇复数与向量的应用 P071 例8）

如图,设、、是的外接圆的三条直径,是所在平面上任意一点,点在、、上的射影分别为、、,是点关于点的对称点,是点B关于点的对称点,是点关于点的对称点.求证:.

图1

分析与解

引原点为的复平面,设圆的半径为1,仍以各点字母表示所在位置的复数,
由、、在圆上知,,,于是由于知

$\begin{cases} \dfrac{P-D}{C-B}=-\dfrac{\overline{P}-\overline{D}}{\overline{C}-\overline{B}},\left(PD\bot BC\right)\\ \dfrac{C-D}{C-B}=-\dfrac{\overline{C}-\overline{D}}{\overline{C}-\overline{B}},\left(D\in BC\right) \end{cases}$

视为关于、的方程,解出.

由是圆中的对径点,知,故

类似地有

但复平面上的变换可以视为由平移,对称,旋转,位似变换迭加的变换,因此是保角的,故以,,为顶点的三角形(顶点按顺序)与相似,即.证毕.

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（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷复数与向量张思汇复数与向量的应用 P072 例9）

设,求证:若、,则、,且.

分析与解

设,,则

$\begin{aligned} &h_{1}\left[h_{2}(x)\right]=\dfrac{a \cdot \dfrac{c x+d}{-d x+c}+b}{-b \cdot \dfrac{c x+d}{-d x+c}+a}=\dfrac{(a c-b d) x+(a d+b c)}{-(a d+b c) x+(a c-b d)} \in H, \\ &h_{2}\left[h_{1}(x)\right]=\dfrac{c \cdot \dfrac{a x+b}{-b x+a}+d}{-d \cdot \dfrac{a x+b}{-b x+a}+a}=\dfrac{(a c-b d) x+(a d+b c)}{-(a d+b c) x+(a c-b d)} \in H, \end{aligned}$

且有.

以上可以推广到任意个型函数,即若、、、,则,且,这里、是、的任一个排列.

注从上面的证明过程中可受到启发:

若对应复数,对应复数,则

对应复数,且恰好等于它们的乘积.

由此可得到解法如下:

要求由任意个型函数迭代式所确定的函数表达式,首先将已知函数所对应的复数写出,然后加以相乘,最后写出乘积复数所对应的H型函数即为所求.

高中奥数 2021-12-23

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