AtCoder Grand Contest 026F - Manju Game（分类讨论+二分）

AtCoder Grand Contest 026F - Manju Game

题目大意

• 给出一个长度为$N$的序列，两人轮流取数，每次只能取上一次取的数旁边相邻的数，如果没有则任意，两人都尽可能使自己取数总和大，求最后两人取的数总和分别是多少。
• $N\le 300000$

题解

• 分析一下取数的过程可以发现，每次$A$取了一个数，$B$取了与之相邻的一个数，限定了一个方向之后，就只能取到最边界才停下，接着下一个人可以任意取，以此类推。
• 然而知道这就能怎么样呢？
• 还需要发现其他结论，如果$A$取的数左/右有偶数个数，那么$B$往那个方向去取，取到边界后下一步轮到$B$，则$B$获得先手权，而此时前面已经选择的结果相当于$A$直接从边界开始选，所以此时$A$从中间选不会优于从边界开始选，
• 也就是说，只有$A$取的数两边个数都是奇数，才会这么选择，否则可以直接从边界选，
• 于是显然，$N$是偶数时，上述情况无法成立，$A$只能从边界开始，要么从左到右取完所有奇数位置的数，要么从右往左取完所有偶数位置的数，
• 那么当$N$是奇数怎么办呢？
• 发现整个过程可以是$A$取偶数位置，$A$和$B$轮流取完某一侧，然后另一侧剩下的数再重复类似的过程，直到某次$A$不取偶数位置，而是把从边界开始（左右开始都一样）把奇数位置取完。
• 假设最后剩下的区间是$[l,r]$，那么$A$在$[1,l)$和$(r,n]$选了所有偶数，$[l,r]$选了所有奇数，那么考虑假设先全选了偶数，然后再反转了一个区间的最大值，也就是找出某个区间中奇数和减去偶数和$S$最大
• 当然要保证$A$选择的其他偶数起始点断开的区间中的奇数和减偶数和都大于等于$S$，不然$B$会使得$A$选不到最大的$S$，
• （盗张图，大概就是这样）
• 所以说，要找某种断开方式，所有区间最小的奇数和偶数和最大，
• 自然可以二分答案，然后再判断是否可行，可以用特殊处理的前缀和然后$O(n)$判断。

代码

#include
#include
#include
using namespace std;
#define N 300010
int a[N], f[N], s[2];
int main() {
	int n, i, sum = 0, ans = 0;
	scanf("%d", &n);
	for(i = 1; i <= n; i++) {
		scanf("%d", &a[i]);
		sum += a[i];
		s[i % 2] += a[i];
	}
	if(n % 2 == 0) {
		s[0] > s[1] ? printf("%d %d", s[0], sum - s[0]) : printf("%d %d", s[1], sum - s[1]);
	}
	else {
		for(i = 1; i <= n; i++) {
			i % 2 ? f[i] = f[i - 1] + a[i] : f[i] = f[i - 1] - a[i];
		}
		int l = 0, r = sum, t = 0;
		while(l <= r) {
			int mid = (l + r) / 2;
			int la = 0;
			for(i = 2; i <= n; i += 2) {
				if(f[i - 1] - la >= mid) la = min(la, f[i]);
			}
			if(f[n] - la >= mid) l = mid + 1, t = mid; else r = mid - 1;
		}
		printf("%d %d\n", s[0] + t, s[1] - t);
	}
	return 0;
}