计算机底层到底是如何存储数字的？

计算机对外信息展示方式有文字、图片、音频、视频等，但不论应用在什么地方，信息在机器内部的形式都是一致的，即均为0和1组成的各种编码。

一、有符号数和无符号数

在计算机中参与运算的数有两大类：无符号数和有符号数。

无符号数

计算机中的数均放在寄存器中，通常称寄存器的位数为机器字长。

所谓无符号数，即没有符号的数，在寄存器中的每一位均可用来存放数值。当存放有符号数时，则需留出位置存放符号。

因此，在机器字长相同时，无符号数与有符号数所对应的数值范围是不同的。

以机器字长为16位为例，无符号数的表示范围为 0~65535，而有符号数的表示范围为 -32768 ~ +32767（此数值对应补码表示）。

有符号数

对有符号数而言，符号的“正”、“负”机器是无法识别的，但由于“正”、“负”恰好是两种截然不同的状态，如果用“0“表示“正”，用“1”表示“负”，这样符号也被数字化了，并且规定将它放在有效数字的前面，即组成了有符号数。
例如，+1100 在机器中表示为 01100 ，-1100 在机器中表示为 1 1100 。

在Java语言中，如 int、float 等都是有符号数，故下文所讲都是在有符号数的范畴。

二、机器数与真值

把符号（如+、-）“数字化”的数称为机器数，而把带“+”或“-”符号的数称为真值。

一旦符号数字化后，符号和数值就形成了一种新的编码。在运算过程中，符号位能否和数值部分一起参加运算？如果参加运算，符号位又需作哪些处理？这些问题都与符号位和数值位所构成的编码有关，这些编码就是原码、补码、反码和移码。

原码

原码是机器数中最简单的一种表示形式，符号位为0的表示正数，符号位为1的表示负数，数值位即真值的绝对值，故原码表示又称为带符号的绝对值表示。

反码

正数的反码依旧等于原码，负数的反码是在其原码的基础上， 符号位不变，其余各个位取反。

补码

正数的补码码依旧等于原码，负数的补码是在其原码的基础上， 符号位不变， 其余各位取反， 最后+1。 (即在反码的基础上+1)

移码

同一个真值的移码和补码仅差一个符号位，若将补码的符号位由“0”改为“1”，或从“1”改为“0”，即可得该真值的移码。简单说，无论正负数，只要将其补码的符号位取反即可。

三、定点数与浮点数

在计算机中，小数点不用专门的器件表示，而是按约定的方式标出，共有两种方法表示小数点的存在，即定点表示和浮点表示。定点表示的数称为定点数（如 java 语言中的 int），浮点表示的数称为浮点数（如 java 语言中的 float、double）。

定点数

小数点固定在某一位置的数为定点数，有以下两种格式。

当小数点位于数符和第一数值位之间时，机器内的数为纯小数；当小数点位于数值位之后时，机器内的数为纯整数。

采用定点数的机器称为定点机。数值部分的位数n决定了定点机中数的表示范围。若机器数采用原码，小数定点机中数的表示范围是 -(1 - 2^-n) ~ (1 - 2^-n)，整数定点机中数的表示范围是 -(2^n-1) ~ (2^n-1)。

浮点数

实际上计算机中处理的数不一定是纯小数或纯整数（如圆周率3.1416），而且有些数据的数值范围相差很大（如电子的质量9×10-6g，太阳的质量2×103g），它们都不能直接用定点小数或定点整数表示，但均可用浮点数表示。浮点数即小数点的位置可以浮动的数，如

352.47 = 3.5247 * 10^2 = 3524.7 * 10^-1

显然，这里小数点的位置是变化的，但因为分别乘上了不同的 10 的方幂，故值不变。

通常，浮点数被表示成 N = S * r^j ， 式中，S为尾数（可正可负），j为阶码（可正可负），r是基数（或基值）。在计算机中，基数可取2，4、8或16等。

浮点数的规格化形式为 N = 0.110101 * 2^10。

浮点数在机器中的形式如下所示。

浮点数由阶码j和尾数S两部分组成。阶符表示阶码数值部分的正负，数符表示尾数数值部分的正负。阶码j反映了浮点数的表示范围及小数点的实际位置。尾数是小数，其位数n反映了浮点数的精度。

定点数与浮点数的比较

定点数和浮点数可从如下几个方面进行比较。

①当浮点机和定点机中数的位数相同时，浮点数的表示范围比定点数的大得多。

②当浮点数为规格化数时，其相对精度远比定点数高。

③浮点数运算要分阶码部分和尾数部分，而且运算结果都要求规格化，故浮点运算步骤比定点运算步骤多，运算速度比定点运算的低，运算线路比定点运算的复杂。

④在溢出的判断方法上，浮点数是对规格化数的阶码进行判断，而定点数是对数值本身进行判断。例如小数定点机中的数其绝对值必须小于1，否则“溢出”，此时要求机器停止运算，进行处理。为了防止溢出，上机前必须选择比例因子，这个工作比较麻烦给编程带来不便。而浮点数的表示范围远比定点数大，仅当“上溢”时机器才停止运算，故一般不必考虑比例因子的选择。

总之，浮点数在数的表示范围、数的精度、溢出处理和程序编程方面（不取比例因子）均优于定点数。但在运算规则、运算速度及硬件成本方面又不如定点数。因此，究竟选用定点数还是浮点数，应根据具体应用综合考虑。一般来说，通用的大型计算机大多采用浮点数，或同时采用定、浮点数；小型、微型及某些专用机、控制机则大多采用定点数。当需要作浮点运算时，可通过软件实现，也可外加浮点扩展硬件（如协处理器）来实现。

四、IEEE 754标准

现代计算机中，浮点数一般采用 IEEE 制定的国际标准，这种标准形式如下：

按 IEEE 标准，常用的浮点数有三种：

	符号位S	阶码	尾数	总位数
短实数	1	8	23	32
长实数	1	11	52	64
临时实数	1	15	64	80

其中，S为数符，表示浮点数的正负，但与其有效位（尾数）是分开的。

阶码的真值都被加上一个常数（偏移量），如短实数、长实数和临时实数的偏移量用十进制数表示分别为 127、1023 和 16383。

尾数部分通常都是规格化表示，即写成 1.xxxxxx 的形式，其中 xxxxxx 表示小数部分。IEEE 754规定，在计算机内部保存尾数时，默认这个数的第一位总是1，因此可以被舍去，只保存后面的xxxxxx部分。

下面列出了十进制数 178.125 的实数表示。

实数表示		数值
原始十进制数		178.125
二进制数		10110010.001
二进制浮点表示		1.0110010001*2^111
	符号	偏移的阶码	有效值
短实数表示	0	0000 0111+0111 1111 =1000 0110	0110 0100 0100 0000 0000 000

注：二进制浮点数的基数是2；基数2的指数111是未偏移的阶码；有效值只保留了尾数的小数部分0110010001。

你也可以编写 java 程序来验证在机器上浮点数是否是以 IEEE754 标准存储的，示例代码如下：

@Test
public void test(){
    int i = Float.floatToIntBits(178.125f);
    System.out.println(Integer.toBinaryString(i));
    //0 10000110 01100100010000000000000
}

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[1] 浮点数的二进制表示 阮一峰