二维前缀和数组&二维差分数组
二维前缀和数组&二维差分数组
一维前缀和
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用途：快速求出数组中 n u m s [ i , j ] nums[i,j] nums[i,j]元素之和
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定义： s u m s [ i + 1 ] sums[i+1] sums[i+1]为
nums数组前 i i i个元素之和
s u m s [ i + 1 ] = ∑ j = 0 i n u m s [ j ] sums[i + 1] = \sum _{j=0} ^{i}nums[j] sums[i+1]=j=0∑inums[j] -
因此，可以快速计算出数组中 n u m s [ i , j ] nums[i,j] nums[i,j]元素之和为 s u m [ j + 1 ] − s u m [ i ] sum[j+1]-sum[i] sum[j+1]−sum[i]
一维差分
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定义：差分数组的每一项都是原数组该项与上一项的差
d [ i ] = a [ i ] − a [ i − 1 ] d[i]=a[i]-a[i-1] d[i]=a[i]−a[i−1] -
用途：常用于区间修改，如对原始数组a[n]内一段区间上的数值进行加减操作，则:
- 在差分数组d[n]选定区间[l,r]，确认加减数值x
d [ l ] + = x d [ r + 1 ] − = x d[l] += x \\d[r+1] -= x d[l]+=xd[r+1]−=x
- 然后对该数组求累加和数组，就得到了变化后的数组
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例如
index 0 1 2 3 4 5 原始数组 0 2 3 7 5 8 原差分数组 0 2 1 4 -2 3 操作：对区间[1,3]+3 5 6 10 现差分数组 0 5 1 4 -5 3 累加和数组 0 5 6 10 5 8
二维前缀和
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「二维前缀和」解决的是二维矩阵中的矩形区域求和问题。
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二维前缀和数组中的每一个格子记录的是「**以当前位置为区域的右下角（区域左上角恒定为原数组的左上角）**的区域和」【应该不固定 可以倒转】
s u m [ i , j ] = s u m [ i − 1 ] [ j ] + s u m [ i ] [ j − 1 ] − s u m [ i − 1 ] [ j − 1 ] + m a t r i x [ i ] [ j ] sum[i,j] = sum[i-1][j]+sum[i][j-1]-sum[i-1][j-1]+matrix[i][j] sum[i,j]=sum[i−1][j]+sum[i][j−1]−sum[i−1][j−1]+matrix[i][j]
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因此，如果要求 (x1, y1) 作为左上角，(x2, y2) 作为右下角的区域和的时候，可以直接利用二维前缀和数组快速求解：
r e s = s u m [ x 2 ] [ y 2 ] − s u m [ x 1 − 1 ] [ y 2 ] − s u m [ x 2 ] [ y 1 − 1 ] + s u m [ x 1 − 1 ] [ y 1 − 1 ] res=sum[x2][y2] - sum[x1 - 1][y2] - sum[x2][y1 - 1] + sum[x1 - 1][y1 - 1] res=sum[x2][y2]−sum[x1−1][y2]−sum[x2][y1−1]+sum[x1−1][y1−1]
二维差分
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「二维差分」解决的是二维矩阵中的矩形区域值的变化问题。
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两种情况：以当前位置为左上角或右下角
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左上角
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二维数组某个位置 ( x 1 , y 1 ) (x1,y1) (x1,y1)的变化量，可由二维差分数组的二维前缀和数组得到，即以当前位置为左上角，原数组的右下角为右下角的区域和
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二维差分数组中的每一个格子记录的是「以当前位置为区域的右下角（区域左上角恒定为原数组的左上角）的值的变化量」【应该不固定 可以倒转】
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因此，如果要求 ( x 1 , y 1 ) (x1, y1) (x1,y1) 作为左上角， ( x 2 , y 2 ) (x2, y2) (x2,y2) 作为右下角的区域值增加 x x x的时候，可以利用二维差分数组快速求解，此时相当于二维差分矩阵上对 ( x 2 , y 2 ) (x2,y2) (x2,y2)增加 x x x，对 ( x 2 , y 1 − 1 ) (x2,y1-1) (x2,y1−1)和 ( x 1 − 1 , y 2 ) (x1-1,y2) (x1−1,y2)减小 x x x，再对重复区域 ( x 1 − 1 , y 1 − 1 ) (x1-1,y1-1) (x1−1,y1−1)增加 x x x
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二维数组某个位置 ( x 1 , y 1 ) (x1,y1) (x1,y1)的变化量，可由二维差分数组的二维前缀和数组
sum得到，即以当前位置为左上角，原数组的右下角为右下角的区域和【倒叙求】
s u m [ i , j ] = s u m [ i + 1 ] [ j ] + s u m [ i ] [ j + 1 ] − s u m [ i + 1 ] [ j + 1 ] + d e v [ i ] [ j ] sum[i,j] = sum[i+1][j]+sum[i][j+1]-sum[i+1][j+1]+dev[i][j] sum[i,j]=sum[i+1][j]+sum[i][j+1]−sum[i+1][j+1]+dev[i][j]
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右下角【常用】
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二维数组某个位置 ( x 1 , y 1 ) (x1,y1) (x1,y1)的变化量，可由二维差分数组的二维前缀和数组得到，即以当前位置为右下角，原数组的左上角为左上角的区域和
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二维差分数组中的每一个格子记录的是「以当前位置为区域的左上角（区域右下角恒定为原数组的右下角）的值的变化量」【应该不固定 可以倒转】
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因此，如果要求 ( x 1 , y 1 ) (x1, y1) (x1,y1) 作为左上角， ( x 2 , y 2 ) (x2, y2) (x2,y2) 作为右下角的区域值增加 x x x的时候，可以利用二维差分数组快速求解，此时相当于二维差分矩阵上对 ( x 1 , y 1 ) (x1,y1) (x1,y1)增加 x x x，对 ( x 2 + 1 , y 1 ) (x2+1,y1) (x2+1,y1)和 ( x 1 , y 2 + 1 ) (x1,y2+1) (x1,y2+1)减小 x x x，再对重复区域 ( x 2 + 1 , y 2 + 1 ) (x2+1,y2+1) (x2+1,y2+1)增加 x x x
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要求得二维数组每个位置 ( x 1 , y 1 ) (x1,y1) (x1,y1)的变化量，即求二维差分数组的二维前缀和数组
sum，即差分数组以当前位置为右下角，原数组的左上角为左上角的区域和
s u m [ i , j ] = s u m [ i − 1 ] [ j ] + s u m [ i ] [ j − 1 ] − s u m [ i − 1 ] [ j − 1 ] + d e v [ i ] [ j ] sum[i,j] = sum[i-1][j]+sum[i][j-1]-sum[i-1][j-1]+dev[i][j] sum[i,j]=sum[i−1][j]+sum[i][j−1]−sum[i−1][j−1]+dev[i][j]
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总结
- 二维差分数组可视为以位置[i,j]为右下角原点为右上角的区域之和【二维前缀和数组 s u m [ i ] [ j ] sum[i][j] sum[i][j]】与该区域除了位置[i,j]的区域和之差，用二维前缀和数组可表示为
d i v [ i ] [ j ] = s u m [ i ] [ j ] − s u m [ i − 1 ] [ j ] − s u m [ i ] [ j − 1 ] + s u m [ i + 1 ] [ j + 1 ] div[i][j]=sum[i][j] - sum[i-1][j]-sum[i][j-1]+sum[i+1][j+1] div[i][j]=sum[i][j]−sum[i−1][j]−sum[i][j−1]+sum[i+1][j+1]
- 因此若已知二维数组a，求得其二维前缀和数组b，那么a即为b的差分数组
-
用途：将某一区域的值进行变化，首先求出差分数组，然后对该求出二维前缀和数组，即可求得变化后的结果
-
模板：由区域变化量求得二维差分数组，由二维差分数组求前缀和数组
二维差分数组div中的每一个格子记录的是「以当前位置为区域的左上角（区域右下角恒定为原数组的右下角）的值的变化量」【应该不固定 可以倒转】
二维差分数组的二维前缀和数组
sum，即差分数组以当前位置为右下角，原数组的左上角为左上角的区域和-
初始时div数组需要扩展边界，转化为
sum时需要处理0class Solution { public int[][] rangeAddQueries(int n, int[][] queries) { int[][] div = new int[n + 1][n + 1]; for (int[] q : queries){ div[q[0]][q[1]]++; div[q[0]][q[3] + 1]--; div[q[2] + 1][q[1]]--; div[q[2] + 1][q[3] + 1]++; } int[][] sum = new int[n][n]; for (int i = 0; i < n; i++){ for (int j = 0; j < n; j++){ sum[i][j] = div[i][j]; if (i != 0) sum[i][j] += sum[i - 1][j]; if (j != 0) sum[i][j] += sum[i][j - 1]; if (i != 0 && j != 0) sum[i][j] -= sum[i - 1][j - 1]; } } return sum; } } -
div数组边界可以+2，方便处理0
d i v [ 1 : n ] [ 1 : n ] div[1:n][1:n] div[1:n][1:n]计算为二维前缀和数组，在赋值给结果集
class Solution { public int[][] rangeAddQueries(int n, int[][] queries) { int[][] div = new int[n + 2][n + 2]; for (int[] q : queries){ div[q[0] + 1][q[1] + 1]++; div[q[0] + 1][q[3] + 2]--; div[q[2] + 2][q[1] + 1]--; div[q[2] + 2][q[3] + 2]++; } int[][] sum = new int[n][n]; for (int i = 1; i <= n; i++){ for (int j = 1; j <= n; j++){ sum[i - 1][j - 1] = (div[i][j] += div[i - 1][j] + div[i][j - 1] - div[i - 1][j - 1]); } } return sum; } }
-
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模板：由前缀和数组求得二维差分数组即求出每个位置的数值
// sum n*n // div (n+1)*(n+1) //求出差分数组 for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++){ div[i][j]=sum[i][j]-sum[i-1][j]-sum[i][j-1]+sum[i-1][j-1]; }
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(row1i, col1i)且 右下角 为(row2i, col2i)的子矩阵，将子矩阵中的 每个元素 加1。也就是给所有满足row1i <= x <= row2i和col1i <= y <= col2i的mat[x][y]加1。返回执行完所有操作后得到的矩阵
mat。
暴力
java过了…
class Solution {
public int[][] rangeAddQueries(int n, int[][] queries) {
int[][] mat = new int[n][n];
for (int[] query : queries){
int row1 = query[0], col1 = query[1], row2 = query[2], col2 = query[3];
for (int i = row1; i <= row2; i++){
for (int j = col1; j <= col2; j++){
mat[i][j]++;
}
}
}
return mat;
}
}
- 复杂度
- 时间复杂度： O ( n 2 ∗ q ) O(n^2*q) O(n2∗q)， q q q为 q u e r i e s queries queries的长度
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s u m [ i , j ] = s u m [ i − 1 ] [ j ] + s u m [ i ] [ j − 1 ] − s u m [ i − 1 ] [ j − 1 ] + d e v [ i ] [ j ] sum[i,j] = sum[i-1][j]+sum[i][j-1]-sum[i-1][j-1]+dev[i][j] sum[i,j]=sum[i−1][j]+sum[i][j−1]−sum[i−1][j−1]+dev[i][j]-
初始时div数组需要扩展边界，转化为
sum时需要处理0class Solution { public int[][] rangeAddQueries(int n, int[][] queries) { int[][] div = new int[n + 1][n + 1]; for (int[] q : queries){ div[q[0]][q[1]]++; div[q[0]][q[3] + 1]--; div[q[2] + 1][q[1]]--; div[q[2] + 1][q[3] + 1]++; } int[][] sum = new int[n][n]; for (int i = 0; i < n; i++){ for (int j = 0; j < n; j++){ sum[i][j] = div[i][j]; if (i != 0) sum[i][j] += sum[i - 1][j]; if (j != 0) sum[i][j] += sum[i][j - 1]; if (i != 0 && j != 0) sum[i][j] -= sum[i - 1][j - 1]; } } return sum; } }- 复杂度
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d i v [ 1 : n ] [ 1 : n ] div[1:n][1:n] div[1:n][1:n]计算为二维前缀和数组，在赋值给结果集
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sumRegion的时间复杂度为 O ( 1 ) O(1) O(1) - 空间复杂度： O ( m ∗ n ) O(m*n) O(m∗n)
- 时间复杂度：构造方法的时间复杂度为生成二维前缀和数组的时间复杂度 O ( m ∗ n ) O(m*n) O(m∗n),
- 复杂度