B-树/B+树/B*树

B-树

B-树是一种多路搜索树(并不是二叉的):

  1. 定义任意非叶子结点最多只有 M 个儿子;且 M>2 ;

  2. 根结点的儿子数为 [2, M] ;

  3. 除根结点以外的非叶子结点的儿子数为 [M/2, M] ;

  4. 每个结点存放至少 M/2-1 (取上整)和至多 M-1 个关键字;(至少 2 个关键字)

  5. 非叶子结点的关键字个数 = 指向儿子的指针个数 -1 ;

  6. 非叶子结点的关键字: K[1], K[2], …, K[M-1] ;且 K[i] < K[i+1] ;

  7. 非叶子结点的指针: P[1], P[2], …, P[M] ;其中 P[1] 指向关键字小于 K[1] 的子树, P[M] 指向关键字大于 K[M-1] 的子树,其它 P[i]指向关键字属于 (K[i-1], K[i]) 的子树;

  8. 所有叶子结点位于同一层;

如:( M=3 )

B- 树的搜索,从根结点开始,对结点内的关键字(有序)序列进行二分查找,如果命中则结束,否则进入查询关键字所属范围的儿子结点;重复,直到所对应的儿子指针为空,或已经是叶子结点;

B- 树的特性:

  1. 关键字集合分布在整颗树中;

  2. 任何一个关键字出现且只出现在一个结点中;

  3. 搜索有可能在非叶子结点结束;

  4. 其搜索性能等价于在关键字全集内做一次二分查找;

  5. 自动层次控制;

由于限制了除根结点以外的非叶子结点,至少含有 M/2 个儿子,确保了结点的至少利用率,其最底搜索性能为:

其中, M 为设定的非叶子结点最多子树个数, N 为关键字总数;

所以 B- 树的性能总是等价于二分查找(与 M 值无关),也就没有 B 树平衡的问题;

由于 M/2 的限制,在插入结点时,如果结点已满,需要将结点分裂为两个各占 M/2 的结点;删除结点时,需将两个不足 M/2 的兄弟结点合并;

B+ 树

B+ 树是 B- 树的变体,也是一种多路搜索树:

  1. 其定义基本与 B- 树同,除了:

  2. 非叶子结点的子树指针与关键字个数相同;

  3. 非叶子结点的子树指针 P[i] ,指向关键字值属于 [K[i], K[i+1]) 的子树( B- 树是开区间);

  4. 为所有叶子结点增加一个链指针;

  5. 所有关键字都在叶子结点出现;

如:( M=3 )

image

B+ 的搜索与 B- 树也基本相同,区别是 B+ 树只有达到叶子结点才命中( B- 树可以在非叶子结点命中),其性能也等价于在关键字全集做一次二分查找;

B+ 的特性:

  1. 所有关键字都出现在叶子结点的链表中(稠密索引),且链表中的关键字恰好是有序的;

  2. 不可能在非叶子结点命中;

  3. 非叶子结点相当于是叶子结点的索引(稀疏索引),叶子结点相当于是存储(关键字)数据的数据层;

  4. 更适合文件索引系统;

B* 树

B*树是 B+ 树的变体,在 B+ 树的非根和非叶子结点再增加指向兄弟的指针;


B* 树定义了非叶子结点关键字个数至少为 (2/3)*M ,即块的最低使用率为 2/3 (代替 B+ 树的 1/2 );

B+ 树的分裂:当一个结点满时,分配一个新的结点,并将原结点中 1/2 的数据复制到新结点,最后在父结点中增加新结点的指针; B+树的分裂只影响原结点和父结点,而不会影响兄弟结点,所以它不需要指向兄弟的指针;

B* 树的分裂:当一个结点满时,如果它的下一个兄弟结点未满,那么将一部分数据移到兄弟结点中,再在原结点插入关键字,最后修改父结点中兄弟结点的关键字(因为兄弟结点的关键字范围改变了);如果兄弟也满了,则在原结点与兄弟结点之间增加新结点,并各复制1/3 的数据到新结点,最后在父结点增加新结点的指针;

所以, B* 树分配新结点的概率比 B+ 树要低,空间使用率更高。

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