leetcode刷题之背包问题(01背包)

01 背包

概念:有n件物品和一个最多能背重量为w 的背包。第i件物品的重量是 w e i g h t [ i ] weight[i] weight[i],得到的价值是 v a l u e [ i ] value[i] value[i]。每件物品只能用一次,求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

方法1:暴力回溯法

方法2:动态规划

三个物品,物品的重量分别为{1,3,4},物品的价值分别为{15,20,30};背包最大容量为4。
leetcode刷题之背包问题(01背包)_第1张图片

(一)二维dp数组
  1. 确定dp数组以及下标的含义: d p [ i ] [ j ] dp[i][j] dp[i][j]代表从下标为[0,i]的物品中任意取,放到容量为j的背包里,价值总和最大是多少。
  2. 确定递推公式
  • 不放物品i的最大价值: d p [ i − 1 ] [ j ] dp[i-1][j] dp[i1][j]
  • 放物品i的最大价值(也就是背包容量减去物品i的容量所能放的最大价值加上物品 i 的价值):
    d p [ i − 1 ] [ j − w e i g h t [ i ] ] dp[i - 1][j - weight[i]] dp[i1][jweight[i]]为背包容量为 j − w e i g h t [ i ] j - weight[i] jweight[i]的时候不放物品i的最大价值,那么 d p [ i − 1 ] [ j − w e i g h t [ i ] ] + v a l u e [ i ] dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i] dp[i1][jweight[i]]+value[i](物品 i i i的价值)就是背包放物品 i i i得到的最大价值。
    所以,递推公式为: d p [ i ] [ j ] = m a x ( d p [ i − 1 ] [ j ] , d p [ i − 1 ] [ j − w e i g h t [ i ] ] + v a l u e [ i ] ) dp[i][j]=max(dp[i - 1][j],dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]) dp[i][j]=max(dp[i1][j],dp[i1][jweight[i]]+value[i])
  1. dp数组如何初始化
    首先从 d p [ i ] [ j ] dp[i][j] dp[i][j]的定义出发,如果背包容量j为0的话,即 d p [ i ] [ 0 ] dp[i][0] dp[i][0],无论是选取哪些物品,背包价值总和一定为0。如图:
    leetcode刷题之背包问题(01背包)_第2张图片
    初始化情况如下:
    leetcode刷题之背包问题(01背包)_第3张图片
    d p [ 0 ] [ j ] dp[0][j] dp[0][j] d p [ i ] [ 0 ] dp[i][0] dp[i][0]都已经初始化了,那么其他下标应该初始化多少呢?

其实从递归公式: d p [ i ] [ j ] = m a x ( d p [ i − 1 ] [ j ] , d p [ i − 1 ] [ j − w e i g h t [ i ] ] + v a l u e [ i ] ) dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j - weight[i]] + value[i]) dp[i][j]=max(dp[i1][j],dp[i1][jweight[i]]+value[i]); d p [ i − 1 ] [ j ] 和 d p [ i − 1 ] [ j − w e i g h t [ i ] ] dp[i-1][j]和dp[i - 1][j - weight[i]] dp[i1][j]dp[i1][jweight[i]]分别在dp[i][j]的正上方和左上角方向,可以看出 d p [ i ] [ j ] dp[i][j] dp[i][j] 是由左上方和正上方数值推导出来了,那么其他下标初始为什么数值都可以,因为都会被覆盖。

初始-1,初始-2,初始100,都可以!但只不过一开始就统一把dp数组统一初始为0会更方便一些,如下图所示。
leetcode刷题之背包问题(01背包)_第4张图片

// 初始化 dp
vector<vector<int>> dp(weight.size(), vector<int>(bagweight + 1, 0));
//weight.size()是指有多少物品也就是多少行,上一行是初始dp[i][j]全为0;
//bagweight是背包容量
for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) 
{
    dp[0][j] = value[0];//初始化二维数组的第一行
}
  1. 确定遍历顺序(两层for循环)
    先遍历物品还是先遍历背包重量呢?其实都可以!但是先遍历物品更好理解。
    (1)先遍历物品
// weight数组的大小size 就是物品个数
for(int i = 1; i < weight.size(); i++) // 遍历物品
{ 
    for(int j = 0; j <= bagweight; j++) // 遍历背包容量
    { 
        if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j]; 
//当背包容量j小于物品i的重量weight[i]时,那就去掉物品i
        else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
    }
}

(2)先遍历背包

// weight数组的大小 就是物品个数
for(int j = 0; j <= bagweight; j++) 
{ // 遍历背包容量
    for(int i = 1; i < weight.size(); i++) 
    { // 遍历物品
        if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
        else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
    }
}
  1. 举例推导dp数组
    leetcode刷题之背包问题(01背包)_第5张图片
void test() 
{
    vector<int> weight = {1, 3, 4};
    vector<int> value = {15, 20, 30};
    int bagweight = 4;
    // 二维数组
    vector<vector<int>> dp(weight.size(), vector<int>(bagweight + 1, 0));
    // 初始化
    for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) 
    {
        dp[0][j] = value[0];
    }
    // weight数组的大小 就是物品个数
    for(int i = 1; i < weight.size(); i++) 
    { // 遍历物品
        for(int j = 0; j <= bagweight; j++) 
        { // 遍历背包容量
            if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
        }
    }
    cout << dp[weight.size() - 1][bagweight] << endl;
}

int main() 
{
    test();
}
(二)一维dp数组(滚动数组)
  1. 确定dp数组的定义:在一维dp数组中,dp[j]表示:容量为j的背包,所背的物品价值最大为dp[j]。
  2. 一维dp数组的递推公式
    dp[j]可以通过 d p [ j − w e i g h t [ i ] ] dp[j - weight[i]] dp[jweight[i]]推导出来, d p [ j − w e i g h t [ i ] ] dp[j - weight[i]] dp[jweight[i]]表示容量为 j − w e i g h t [ i ] j - weight[i] jweight[i]的背包所背的最大价值。 d p [ j − w e i g h t [ i ] ] + v a l u e [ i ] dp[j - weight[i]] + value[i] dp[jweight[i]]+value[i]表示容量为j - 物品i重量的背包加上物品i的价值。(也就是容量为j的背包,放入物品i了之后的价值即: d p [ j ] ) dp[j]) dp[j]
    此时dp[j]有两个选择,一个是取dp[j]相当于二维dp数组中的 d p [ i − 1 ] [ j ] dp[i-1][j] dp[i1][j],即不放物品i;一个是取 d p [ j − w e i g h t [ i ] ] + v a l u e [ i ] dp[j - weight[i]] + value[i] dp[jweight[i]]+value[i],即放物品i,指定是取最大的,毕竟是求最大价值。
    所以,递推公式为: d p [ j ] = m a x ( d p [ j ] , d p [ j − w e i g h t [ i ] ] + v a l u e [ i ] ) dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]) dp[j]=max(dp[j],dp[jweight[i]]+value[i])
    可以看出相对于二维dp数组的写法,就是把dp[i][j]中i的维度去掉了。
  3. 一维dp数组如何初始化
    dp[j]表示:容量为j的背包,所背的物品价值可以最大为dp[j],那么dp[0]就应该是0,因为背包容量为0所背的物品的最大价值就是0。
    那么dp数组除了下标0的位置,初始为0,其他下标应该初始化多少呢?看一下递归公式:dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);dp数组在推导的时候一定是取价值最大的数,如果题目给的价值都是正整数那么非0下标都初始化为0就可以了。
  4. 一维dp数组遍历顺序
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) 
{ // 遍历物品
    for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) 
    { // 遍历背包容量
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
    }
}

这里大家发现和二维dp的写法中,遍历背包的顺序是不一样的!二维dp遍历的时候,背包容量是从小到大,而一维dp遍历的时候,背包是从大到小。倒序遍历是为了保证物品 i 只被放入一次!但如果一旦正序遍历了,那么物品0就会被重复加入多次!
5. 举例推导dp数组
一维dp,分别用物品0,物品1,物品2 来遍历背包,最终得到结果如下:
leetcode刷题之背包问题(01背包)_第6张图片

void test() 
{
    vector<int> weight = {1, 3, 4};
    vector<int> value = {15, 20, 30};
    int bagWeight = 4;
    // 初始化
    vector<int> dp(bagWeight + 1, 0);
    for(int i = 0; i < weight.size(); i++) 
    { // 遍历物品
        for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) 
        { // 遍历背包容量
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
        }
    }
    cout << dp[bagWeight] << endl;
}
int main() 
{
    test();
}

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