代码随想录day45| 动态规划 70. 爬楼梯 （进阶） 322. 零钱兑换 279.完全平方数

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题目：70.爬楼梯（进阶）

题目链接：https://leetcode.cn/problems/climbing-stairs/

题目：322. 零钱兑换

题目链接：https://leetcode.cn/problems/coin-change/

题目：279.完全平方数

题目链接：https://leetcode.cn/problems/perfect-squares/

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题目：70.爬楼梯（进阶）

题目链接：https://leetcode.cn/problems/climbing-stairs/

 假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

示例 1：

输入：n = 2
输出：2
解释：有两种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶
2. 2 阶

示例 2：

输入：n = 3
输出：3
解释：有三种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2. 1 阶 + 2 阶
3. 2 阶 + 1 阶

提示：

• 1 <= n <= 45

思路：完全背包排列问题

递推公式：dp[j]+=dp[j-nums[i]]

转化为完全背包排列问题

遍历顺序：先背包(背包容量n）后物品（1阶、2阶）

dp数组初始化：dp[0]=1

具体代码如下：

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        vector dp(n + 1, 0);
        dp[0] = 1;
        for (int i = 1; i <= n; i++) { // 遍历背包
            for (int j = 1; j <= m; j++) { // 遍历物品
                if (i - j >= 0) dp[i] += dp[i - j];
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

题目：322. 零钱兑换

题目链接：https://leetcode.cn/problems/coin-change/

 给你一个整数数组 coins ，表示不同面额的硬币；以及一个整数 amount ，表示总金额。

计算并返回可以凑成总金额所需的 最少的硬币个数 。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1 。

你可以认为每种硬币的数量是无限的。

示例 1：

输入：coins = [1, 2, 5], amount = 11
输出：3 
解释：11 = 5 + 5 + 1

示例 2：

输入：coins = [2], amount = 3
输出：-1

示例 3：

输入：coins = [1], amount = 0
输出：0

提示：

• 1 <= coins.length <= 12
• 1 <= coins[i] <= 231 - 1
• 0 <= amount <= 104

思路： 

 完全背包最值问题

递推公式：dp[j]=min(dp[j],dp[j-weight[i]]+value[i])

转化为完全背包最值问题

物品是不同硬币，value[i]是硬币本身的个数

那么递推公式转化为：dp[j]=min(dp[j],dp[j-coins[i]]+1)

遍历顺序：先物品后背包也可以先背包后物品

dp数组初始化

vector dp(amount + 1, INT_MAX);
dp[0] = 0;

 具体代码如下：

先物品后背包

// 版本一
class Solution {
public:
    int coinChange(vector& coins, int amount) {
        vector dp(amount + 1, INT_MAX);
        dp[0] = 0;
        for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
            for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包
                if (dp[j - coins[i]] != INT_MAX) { // 如果dp[j - coins[i]]是初始值则跳过
                    dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]);
                }
            }
        }
        if (dp[amount] == INT_MAX) return -1;
        return dp[amount];
    }
};

先背包后物品

class Solution {
public:
    int coinChange(vector& coins, int amount) {
        vector dp(amount + 1, INT_MAX);
        dp[0] = 0;
        for (int i = 1; i <= amount; i++) {  // 遍历背包
            for (int j = 0; j < coins.size(); j++) { // 遍历物品
                if (i - coins[j] >= 0 && dp[i - coins[j]] != INT_MAX ) {
                    dp[i] = min(dp[i - coins[j]] + 1, dp[i]);
                }
            }
        }
        if (dp[amount] == INT_MAX) return -1;
        return dp[amount];
    }
};

题目：279.完全平方数

题目链接：https://leetcode.cn/problems/perfect-squares/

给你一个整数 n ，返回 和为 n 的完全平方数的最少数量 。

完全平方数 是一个整数，其值等于另一个整数的平方；换句话说，其值等于一个整数自乘的积。例如，1、4、9 和 16 都是完全平方数，而 3 和 11 不是。

示例 1：

输入：n = 12
输出：3 
解释：12 = 4 + 4 + 4

示例 2：

输入：n = 13
输出：2
解释：13 = 4 + 9

 

提示：

• 1 <= n <= 104

 思路：完全背包最值问题

递推公式：dp[j]=min(dp[j],dp[j-weight[i]]+value[i])

转化为完全背包最值问题

物品weight[i]为完全平方数,value[i]为完全平方数的个数

所以递推公式转化为dp[j]=min(dp[j],dp[j-i*i]+1)

遍历顺序：先物品后背包或者先背包后物品

dp数组初始化

vector dp(n + 1, INT_MAX);
        dp[0] = 0;

具体代码如下：

先物品后背包

class Solution {
public:
    int numSquares(int n) {
        vector dp(n + 1, INT_MAX);
        dp[0] = 0;
        for (int i = 1; i * i <= n; i++) { // 遍历物品
            for (int j = i * i; j <= n; j++) { // 遍历背包
                dp[j] = min(dp[j - i * i] + 1, dp[j]);
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

 先背包后物品

class Solution {
public:
    int numSquares(int n) {
        vector dp(n + 1, INT_MAX);
        dp[0] = 0;
        for (int i = 0; i <= n; i++) { // 遍历背包
            for (int j = 1; j * j <= i; j++) { // 遍历物品
                dp[i] = min(dp[i - j * j] + 1, dp[i]);
            }
        }
        return dp[n];
    }
};