二维（三维）坐标系中旋转矩阵

求三维坐标系的旋转矩阵通常需要求分别沿3个坐标轴的二维坐标系下的旋转矩阵，二维坐标系下的旋转矩阵的推导过程通常以某一点逆时针旋转$\theta$角度进行推理。以下将通过此例来详细讲解二维坐标系下的旋转矩阵推导过程，并进一步给出其他方式的旋转矩阵。

一、二维坐标中点的旋转变换

点的旋转矩阵（逆时针旋转）

已知点$P(x,y)$，将该点以逆时针方向旋转$\theta$角度后得到点$P^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })$，如下图所示。求由点$P$到点$P^{\prime }$的旋转矩阵。

• 设半径为$r$，由图可以分别得到以下三角公式：

  • 对于点$P(x,y)$
    $$\begin{array}{rl}& x=r\cos \alpha \\ & y=r\sin \alpha \end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$
  • 对于点$P^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })$
    $$\begin{array}{rl}& x^{\prime }=r\cos (\alpha +\theta )\\ & y^{\prime }=r\sin (\alpha +\theta )\end{array}\text{\hspace{1em}(2)}$$

• 根据两角和的正弦与余弦公式：
  $$\begin{array}{rl}& \sin (\alpha +\theta )=\sin \alpha \cos \theta +\cos \alpha \sin \theta \\ & \cos (\alpha +\theta )=\cos \alpha \cos \theta -\sin \alpha \sin \theta \end{array}\text{\hspace{1em}(3)}$$

• 将公式(3)代入公式(2)，可得到：
  $$\begin{array}{rl}& x^{\prime }=r\cos \alpha \cos \theta -r\sin \alpha \sin \theta \\ & y^{\prime }=r\sin \alpha \cos \theta +r\cos \alpha \sin \theta \end{array}\text{\hspace{1em}(4)}$$

• 将公式(1)代入公式(4)，化简掉$\alpha$，可得到$(x^{\prime },y^{\prime })$与$(x,y)$的关系，即：
  $$\begin{array}{rl}& x^{\prime }=x\cos \theta -y\sin \theta \\ & y^{\prime }=y\cos \theta +x\sin \theta \end{array}\text{\hspace{1em}(5)}$$

• 整理公式(5)可得到旋转矩阵公式：
  $$\begin{array}{rl}{x}^{\prime }& =\cos \theta \cdot x-\sin \theta \cdot y\\ y^{\prime }& =\sin \theta \cdot x+\cos \theta \cdot y\\ \Rightarrow \left[\begin{array}{l}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]& =\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x\\ y\end{array}\right]\end{array}\text{\hspace{1em}(6)}$$

• 因此二维坐标系下逆时针旋转矩阵$R$为：
  $$R=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]$$

点的旋转矩阵（顺时针旋转）

已知点$P^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })$，将该点以顺时针方向旋转$\theta$角度后得到点$P(x,y)$，求$P$。

1、利用求逆矩阵的方式

• 二阶矩阵的逆的求法为：主对角元素换位置,次对角元素变符号，再乘上系数1/(ad-bc)，由于旋转矩阵$R$的ad-bc=1，因此$R$的逆矩阵$R^{\prime }$为：
  $$R^{\prime }=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]$$
• 因此旋转公式为：
  $$\left[\begin{array}{l}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{l}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]$$

2、利用几何知识推导

将$P^{\prime }$顺时针旋转$\theta$角度到$P$，相当于逆时针旋转$(2\pi -\theta )$，由于三角函数的周期为$2\pi$，因此相当于旋转$-\theta$角度。

• 将$-\theta$代入到公式(6)，得到：
  $$\begin{array}{rl}x& =\cos (-\theta )\cdot x^{\prime }-\sin (-\theta )\cdot y^{\prime }\\ & =\cos \theta \cdot x^{\prime }+\sin \theta \cdot y^{\prime }\\ y& =\sin (-\theta )\cdot x^{\prime }+\cos (-\theta )\cdot y^{\prime }\\ & =-\sin \theta \cdot x^{\prime }+\cos \theta \cdot y^{\prime }\end{array}$$
• 整理上述公式可得到顺时针时的旋转矩阵公式：
  $$\begin{array}{rl}x& =\cos \theta \cdot x^{\prime }+\sin \theta \cdot y^{\prime }\\ y& =-\sin \theta \cdot x^{\prime }+\cos \theta \cdot y^{\prime }\\ \Rightarrow \left[\begin{array}{l}x\\ y\end{array}\right]& =\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{l}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]\end{array}$$

二、二维坐标系的旋转变换

二维坐标系$\text{XOY}$中有一点$P(x,y)$，将坐标系$\text{XOY}$逆时针旋转$\theta$角度后得到新坐标系${\text{X}}^{\prime }{\text{O}}^{\prime }{\text{Y}}^{\prime }$，求点$P$在新坐标系下的坐标$P^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })$，这个过程称为坐标系变换。

新坐标的求法可以转换为逆向旋转坐标点的方式，并利用点的旋转变换求得。因此，坐标系顺时针旋转$\theta$角度，相当于原坐标系中某一点逆时针旋转$\theta$角度，反之亦然。

总结

• 某点逆时针旋转$\theta$角度（坐标系顺时针旋转$\theta$角度）的旋转矩阵为：
  $$R=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]$$
• 某点顺时针旋转$\theta$角度（坐标系逆时针旋转$\theta$角度）的旋转矩阵为：
  $$R^{\prime }=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]$$
  三维坐标变换可进一步参考Link3。

参考：
Link1
Link2
Link3