层次分析法(AHP)在R中的实现

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AHP把一个复杂的问题表示为一个有序的递阶层次结构，并通过主观判断和科学计算给出备选方案的优劣顺序（或权重）。简而言之，层次分析法人如其名，首先要构建合理的层次，其次要分析层次内部各因素的优劣

ahp00.png

根据需求对目标层进行分解

如作者总分可以分解为5个一级指标

建立层次结构图及判断矩阵

在确定各层次各因素之间的权重时，如果只是定性的结果，则常常不容易被别人接受，因而Saaty等人提出：一致矩阵法
即：不把所有因素放在一起比较，而是两两相互比较。对比时采用相对尺度，以尽可能减少性质不同因素相互比较的困难，以提高准确度

判断矩阵 的标度方法

ahp01.jpg

举旅游的例子，结构如下图所示:

image.png

在旅游问题中第二层A的各个因素对目标层Z的影响两两比较的结果如下图：

image.png

比如 则表示的是景色因素比居住因素对于选择旅游地来说稍微重要

计算权重

将矩阵A的各行向量进行几何平均（方根法），然后进行归一化，即得到各评价指标权重和特征向量W

• way1

> (weight1 <- mean_sqrt/sum(mean_sqrt))
[1] 0.26363280 0.47726387 0.05307416 0.09883999 0.10718918

• way2

> (weight1 <- apply(mx2,1,mean))
[1] 0.26228108 0.47439499 0.05449210 0.09853357 0.11029827

以下的计算结果参考方案1的计算结果

一致性检验

判断矩阵的一致性检验，所谓一致性是指判断思维的逻辑一致性。如当甲比丙是强烈重要，而乙比丙是稍微重要时，显然甲一定比乙重要。这就是判断思维的逻辑一致性，否则判断就会有矛盾

定理：n阶互反阵A的最大特征根λ≥n,当且仅当λ=n时,A为一致阵

这里的成对比较矩阵有两种可能，一致阵或者不是一致阵：

• 如果成对比较矩阵是一致阵，则我们自然回取对应于最大特征根 n 的归一化特征向量
• 若成对比较矩阵不是一致阵，Saaty等人建议用其最大特征根对应的归一化特征向量作为权向量，这样确定权向量的方法称为特征根法

计算最大特征根

• way1
  由 得

lambda1 <- mx1 * weight1/ weight1
(lambda_max <- mean(lambda1))
[1] 5.0717

一致性指标
一致性检验：利用一致性指标和一致性比率<0.1及随机一致性指标的数值表，对A进行检验的过程

定义一致性比率：
一般认为一致性比率 CR<0.1 时，认为A的不一致程度在容许范围之内，有满意的一致性，通过一致性检验。可用其归一化特征向量作为权向量，否则要重新构造成对比较矩阵A，对加以调整

题中 CR =0.0015 < 0.1 , 所以 第二层(准则层)对第一层(目标层)的权重分别为 0.26363280 0.47726387 0.05307416 0.09883999 0.10718918

RI 详情

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
RI	0	0	0.58	0.90	1.12	1.24	1.32	1.41	1.45	1.49	1.51

计算综合重要度

同理, 第三层(方案层)各方案 对第二层(准则层)每个元素的权重依次计算为:

以方案1,2,3 对 景色 准则的权重计算为例

> (weight1 <- mean_sqrt/sum(mean_sqrt))
[1] 0.5953790 0.2763505 0.1282705
> (CI <- (lambda_max-3)/(3-1))
[1] 0.002767556
> (CR <- CI/0.58)
[1] 0.004771648

CR = 0.004 < 0.1 , 可以通过一致性检验,故 各方案在准则1下的权重 0.5953790 0.2763505 0.1282705 有效
同理可得,

image.png

方案 1,2,3 得分分别为 0.29426 0.244176 0.454917, 很明显 方案3 得分更高，更值得选择

References:

• 层次分析法(AHP)
• 层次分析法（AHP）研究方法与步骤分解，及案例详解