时序分析 49 -- 贝叶斯时序预测（一）

贝叶斯时序预测（一）

    时序预测在统计分析和机器学习领域一直都是一个比较重要的话题。在本系列前面的文章中我们介绍了诸如ARIMA系列方法，Holt-Winter指数平滑模型等多种常用方法，实际上这些看似不同的模型和方法之间都具有千丝万缕的联系，包括我们一直没有涉及的最复杂的模型LSTM(Long Short Term Memory)。在实际的时序数据分析工作中，你会发现在通常境况下简单模型都比复杂模型更为有效。本文开始讨论另一套时序预测体系：Bayes 时序预测方法。这套方法的背后原理可以很简单，但也可以很深，我们不如从一个例子开始，先积累一些直觉和经验，后续系列会展开理论部分的讨论。

    贝叶斯时序预测通常不会预测时序点，而是给出时序点的分布，但如果希望预测时序点，你可以简单取该分布的均值或者中位数。

贝叶斯定理回顾

    上图展示了贝叶斯定理的基本结构，这个定理可以认为是机器学习领域最重要的定理了，个人认为没有之一。

让我们来简单回顾一下这个定理的核心内容，

• $P(A)$ ,是事件$A$的先验概率，可以理解为在没有任何具体的数据支持下，我们对事件$A$发生的概率的直觉，也可称为prior belief(先验信念)。先验信念表示了我们对事件$A$发生概率的主观理解。

• $P(B)$，是事件$B$的概率，在贝叶斯定理中一般称为边缘概率（marginal)。

• $P(A|B)$，是当事件$B$发生时事件$A$发生的条件概率，在贝叶斯定理中称为后验概率(posterior)。

• $P(B|A)$，适当事件$A$发生时事件$B$发生的条件概率，在贝叶斯定理中称为似然性(likelihood)。

      我们可以这样理解贝叶斯公式：首先定义一个我们对某个事件的主观理解的先验分布，然后通过数据和事实我们得到似然性，条件于边缘概率后得到后延概率。 通俗来说，我们对一个事情有一个信念，当我们看到与这个事情有关的数据和事实后，我们会更新这个信念。举个例子来说，例如我们有一个硬币，我们相信随机抛这个硬币，落地时正面朝上的概率时1/2。但事实上这个硬币由于制造工艺的随机性导致其正面朝上的概率为2/3，当我们做抛硬币实验时，随着我们观察到正面朝上的概率大于1/2，我们对这件事情的信念会随着事实而变化。

      关于贝叶斯定理，日后我们还会做进一步讨论，尝试从其他维度更深一步理解这个重要定理。

贝叶斯时序预测

    贝叶斯时序预测模型的一种最常用的方法称为：DGLM(Dynamic Generalized Linear Model)，既动态泛化线性模型，这里

• 动态，模型系数会随时间变化而变化。

• 泛化，过观察的分布可以是多种分布，例如正态分布、泊松分布、伯努利分布、二项式分布等。

• 线性，预测值既系数与预测变量的乘积的线性组合。

  此模型的关键要素为：

${\lambda }_t=F_t{\theta }_t$

• ${\lambda }_t$是线性预测变量

• ${\theta }_r$是状态向量，DGLM的系数融入到状态向量中，实际建模中此向量由一些组件组成，例如趋势、回归性、季节、节假日和特殊事件等。

• $F_t$是回归向量

      这些变量都会有对应的折现因子，折现因子是在构建模型中由我们设定的，它表示我们给当先信息和历史信息所分配的权重。

Python 简单例子

读入数据和所需包

import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.dates as dt
from pybats.analysis import analysis
from pybats.point_forecast import median

df = pd.read_csv('airpassengers.csv')

# Changing the datatype
df["Month"] = pd.to_datetime(df['Month'], format='%Y-%m')

# Setting the Date as index
df = df.set_index('Month')

Y = df['#Passengers'].values

pybats为贝叶斯时许预测提供了很多参数，我们先来简单看一下

k = 1 # 向前预测一步
forecast_start = 0 # 预测从时间零点开始
forecast_end = len(df)-1 # 预测在数据最后结束

mod, samples = analysis(
    Y,
    family="poisson", # 使用泊松分布
    forecast_start=forecast_start,
    forecast_end=forecast_end,
    k=k,
    nsamps=100, # 每个月取一百个样本
    prior_length=6, # 取6个点来定义先验分布
    rho=.9, # 随机效用扩展
    deltrend=0.5, # 趋势折现因子
    delregn=0.9 # 回归折现因子
)

forecast = median(samples) # 预测

参数解释：

• family=”possion“: 我们可尝试使用泊松分布对正整数建模；使用normal对连续实数；使用bernoulli对0-1;使用binomial对bernoulli的加总和。
• nsamps=100：定义样本的数量，通过此样本可得到信任区间（credibale interval)和点估计（point estimate)
• prior_length=6：构造先验分布的点的数量，这个数值越大说明使用时序开始数据来建模先验分布的观测值越多
• rho=.9：随机效用扩展，这个参数增加了预测的波动

# Plotting
fig, ax = plt.subplots(1,1, figsize=(8, 6))   
ax = plot_data_forecast(fig, ax, Y, forecast, samples,
                        dates=df.index)
ax = ax_style(ax, ylabel='Sales', xlabel='Time',
              legend=['Forecast', 'Passengers', 'Credible Interval'])

注意，上图中开始的水平线表明了建立先验分布所使用的月数，所以这里没有开始预测。 可以使用analysis函数来评估预测效果和对数据的拟合程度。

就这份数据而言，看上去拟合得不错，但我们需要知道

• 这个例子实际上不是预测，只能算是”事后诸葛亮“

• 这个数据集实际上非常好，有比较强的趋势和季节成分
  PyBATS还有很多其他功能我们没有在这里演示，例如：

• 增加节假日和特殊事件

• 深一步使用DGLM

• 使用隐含因子(latent factors)，例如增加机票的平均价格来优化乘客人数的预测过程。

这只是个非常简单且不太完整的例子，如开头所言，这个例子只能给我们一些感性认识，后续笔者会分享更多关于这个主题的深层次的讨论和实践。