贝特朗悖论

1899年，法国学者贝特朗提出了所谓“贝特朗悖论”（亦称”贝特朗怪论“）：

在一给定圆内所有的弦中任选一条弦，求该弦的长度长于圆的内接正三角形边长的概率。

该问题有如下三种解法

解法一

如图，任取一条弦，与圆心的距离d[0,1].而当距离小于时，弦长大于三角形边长。所以，概率为。

解法二

如图，过圆上任意一点做圆的切线。所有以该点为端点的弦与该点切线的夹角大于小于时弦长大于三角形边长。所以概率为。

解法三

如图，当弦的中点在阴影标记的圆内时，弦的长度大于三角形的边长，而大圆的弦中点一定在圆内，大圆的面积为小圆面积的两倍。所以概率为。

下面我们使用解析几何的方法来讨论三种情况

一、概率为的情况

直线与圆的表示

设事件A为在一给定圆内所有的弦中任选一条弦，求该弦的长度长于圆的内接正三角形边长。

以圆心为坐标原点建立直角坐标系，不妨取圆的半径为长度“1”。

此时，可以写出圆的方程为

平面内任意一条直线可以表示为

则圆心到直线的距离

直线与圆相交的情况

当直线与圆心的距离小于1的时候，此时圆与直线相交，直线为某一条弦所在直线的方程。

即

两边同时平方，经过移项整理即可得

建立坐标系

建立一个直角坐标系，横轴为轴，纵轴为轴

这平面上一个点对应平面上的一条直线，

这个平面上一条直线对应平面上一条定点直线系（即过一定点的所有直线组成的集合）

特别的，有平面上一条水平直线对应了一个平行直线系（即斜率相等的所有直线组成的集合）

则
表示平面（参数平面）上的一个被双曲线包围的区域,如下图红色曲线中间区域所示

2020-04-14_140002.png

弦长大于三角形边长的情况

以下简称 ”弦长大于“ 为 “弦长条件”

当直线与圆心的距离小于的时候，满足弦长条件

即

两边同时平方，经过移项整理即可得

同样表示一个被双曲线包围的区域,如下图绿色曲线中间区域所示

2020-05-13_132751.png

matlab 绘图代码
fimplicit(@(x,y) x.^2 - y.^2 - 1,'r')
hold on
fimplicit(@(x,y) x.^2 - y.^2/4 - 1/4,'g')
grid on
hold off

概率的计算

由于对称性，仅考虑第一象限内的情况

则

$P(A) = \frac{\int_{0}^{\infty}\frac{1}{2}\sqrt{1+k^2}}{\int_{0}^{\infty}\sqrt{1+k^2}}=\frac {1}{2}\lim_{x \to +\infty}\frac{\int_{0}^{x}\sqrt{1+k^2}}{\int_{0}^{x}\sqrt{1+k^2}} = \frac {1}{2}$

上述过程有一个小瑕疵，就是直线方程不能表示斜率不存在的直线，不影响最后的结果。

设在所有与圆相交的直线中，斜率不存在的直线满足弦长条件的概率为

由实数的阿基米德性可知，,使得

斜率不是直线本身的属性，而是由坐标系”赋予“的。

那么可以任意旋转坐标系次，使得个平行直线系的斜率在每一个特定的坐标系下都不存在

又由这N个直线系满足弦长条件是互斥的，他们的和事件的概率为

与定义矛盾，所以(但是仍然可能发生)

事实上，在平面内任取一条直线，其斜率不存在的概率为0
所以，无论是与圆相交的直线还是满足弦长条件的直线，在这两个直线系里面排除斜率不存在不会影响最终的结果。

使用直线的一般方程

另外一个思路就是可以用直线的一般方程来描述直线

即

类似的建立空间直角坐标系abc

那么直线与圆相交可表示为

即

直线满足弦长条件可表示为

即

以上两个方程表示空间中一区域，其边界为圆锥面，如下图所示

2020-03-29_224632.png

橙色表示，蓝色表示，使用Solidworks绘制

2020-03-29_223901.png

空间中区域剖面，此图形关于平面对称，可以想象为一个圆柱去掉一个圆锥的剩余部分

由两个曲面方程

当时，有
即当底面积一定时，

又由体积公式(圆柱体积减去圆锥体积)

得

对取极限到正无穷，一样可以得到的结果

但是直线一般方程有一隐含条件，即a与b不能同时为0，

也就是说c轴上的点不能对应一条直线

二、概率为的情况

任选圆周上一点，过此点做切线。

取切点做原点，切线为极轴，正方向取为圆在切线左侧时的方向。

此时圆的极坐标方程可写为

2020-04-14_142033.png

matlab 绘图代码
theta = linspace(0,pi);
rho = 2*sin(theta);
polarplot(theta,rho)

当时，

则

三、概率为的情况

任取一条弦，其方程为（斜率存在）

圆与直线有两个交点,交点同时满足圆方程

使用点差法，将（1）式减（2）式，得

移项得

设中点坐标为则

联立直线方程，解得

距离圆心的距离可表示为

如果,则直线与圆相交

对不等式两边同时平方可得

做变量替换

方程化为

若,则满足弦长条件

同样对不等式两边同时平方可得