用Python学《微积分B》（换元法与分部积分）

一、知识点

1，换元法
  换元法主要是根据“积分形式不变性”，通过“替换被积变量”的方式将“被积函数”转换为“积分表”中的函数及其组合，待求出原函数之后，再将变量替换回来的求积分的方法。
1）复合函数换元法（第一类换元法）
  复合函数换元法主要是利用复合函数微分来进行“凑微分”，即将“微分符”外面的东西变到“微分符”里面。其关键点是要找到合适的中间变量 u=u(x) ，使得 ：

∫f(x)dx=∫g(u)du=G(u)+C=G[u(x)]+C

例：

∫tan(x)dx=∫sin(x)cos(x)dx=−∫d[cos(x)]cos(x)=−ln|cos(x)|+C

2）反函数换元法（第二类换元法）
  反函数换元法与复合函数换元法刚好相反，它需要做的是将“微分符”里面的东西变到“微分符”外面。其关键点是找到新变量t，使得 x=φ(t) ，积分过程如下：

∫f(x)dx=∫f[φ(t)]d[φ(t)]=∫f[φ(t)]∗φ′(t)dt=G[φ−1(x)]+C

  最后又要用反函数将x替换回来
例：

∫1x2−a2−−−−−−√dx=?whena>0

解：令 sec(t)=xa ，则 tan(t)=sec2(t)−1−−−−−−−−−√=1ax2−a2−−−−−−√ ，代入上式得

∫1x2−a2−−−−−−√dx=ln|xa+x2−a2−−−−−−√a|+C

1，分部积分法
  分部积分法是从“函数乘积的微分”，即 d(u∗v)=udv+vdu ，推导出来的一种求积分的方法。如果说“换元法”是将微分符外面的东西变到微分符里面，或反过来；那么“分部积分法”则是直接交换微分符里面和外面的东西。

∫udv=uv−∫vdu

或

∫u(x)v′(x)dx=u(x)v(x)−∫v(x)u′(x)dx

  分部积分法主要是将“求函数的积分转变为求导函数的积分”（又是“降维”的方法），所以主要应用于这两种情况：一是函数的比较复杂，而它的导数比较简单，比如：ln x、arctan(x)、arcsin(x)等；二是函数与导数差不多的情况，比如： ex 、sin(x)、cos(x)等。
例：

∫x2ln(x)dx=x33∗ln(x)−∫x33d(ln(x))=x33∗ln(x)−∫x33∗1xdx

∫x2e−2xdx=∫x2d[e−2x−2]=−12x2e−2x+∫xe−2xdx

  从上面这两个例题的推导过程来看，分部积分法实际上是一种“递归”（recursion）算法。

∫exsin(x)dx=exsin(x)−∫excos(x)dx=exsin(x)−excos(x)−∫exsin(x)dx

  上式是一种特殊的递归，通过两次分部积分，又得到了自身，故，它的递归结束条件是重回自身。

二、课后习题

换元法：
3，求积分 ∫e−|x|dx
解：包含绝对值的积分式，不能用python直接解。可以将它分段表示，再用“凑微分法”求解，最后取x=0点连续，求出共同的常数C。

∫e−|x|dx={−e−x+Cex−2+Cx≥0x<0

下面再给出5-10题的python求解过程（注，对于“换元”，sympy.subs函数给与了很好的支持）：

from sympy import *
init_printing()
#Exercise 3
x = Symbol('x')
integrate(exp(-abs(x)), x), integrate(exp(-x), x), integrate(exp(x), x)

(∫e−|x|dx,−e−x,ex)

#Exercise 5
x = Symbol('x')
f = log(x) / x ** 2
f, integrate(f, x)

(1x2log(x),−1xlog(x)−1x)

#Exercise 6
x = Symbol('x')
Df = exp(-x).diff(x)
g = Df.subs(x, log(x))
g, integrate(g / x, x)

(−1x,1x)

#Exercise 7
x = Symbol('x')
F = x ** 2
f = F.diff(x)
g = f.subs(x, 1 - x ** 2)
f, g, integrate(x * g, x)

(2x,−2x2+2,−x42+x2)

#Exercise 8
x = Symbol('x')
f = x / (1 - x) ** 3
f, integrate(f, x)

(x(−x+1)3,2x−12x2−4x+2)

#Exercise 9
x, u = symbols('x u')
f = u / (1 + u ** 4)
Gu = integrate(f, u)
f, Gu, Gu.subs(u, sin(x))

(uu4+1,12atan(u2),12atan(sin2(x)))

#Exercise 10
x = Symbol('x')
f = 2 ** x + x ** 2
f, integrate(f, x)

(2x+x2,2xlog(2)+x33)