阈值分割：最大类间方差法

阈值分割：最大类间方差法

一、简介

最大类间方差法，又称为大津阈值法，或OTSU算法。是由日本学者大津在$1979$年提出的一种非参数的、无监督的自动选择阈值的图像分割方法。

二、算法描述

2.1 公式推导

对于给定的一幅具有 $L$ 个灰度级（$[0,1,2,\cdots ,L-1]$）的灰度图像，有以下描述：

• 使用 $n_i$ 表示处于灰度级 $i$ 的像素块的数目；
• 使用 $N=n_0+n_1+\cdots +n_{L-1}$ 表示该图像所有像素块的数目总和。

对该图像的灰度级直方图进行 标准化处理 可以得到一个概率分布：
$$p_i=\frac{n_i}{N}，p_i\ge 0,\sum _{i=0}^{L-1}{p}_i=1\text{\hspace{1em}(1)}$$

以灰度级 $k$ 为 阈值，可将该图像中的像素块二分为两大类 $C_0$ 和 $C_1$ （背景和前景，反之亦然），其中：

• $C_0$ 表示灰度级在范围 $[0,1,\cdots ,k-1]$ 的像素集合；
• $C_1$ 表示灰度级在范围 $[k,k+1,\cdots ,L-1]$ 的像素集合。

记 $w_0$ 与 $w_1$ 分别为类 $C_0$ 和类 $C_1$ 发生的概率，则显然有：
$$\sum _{i=1}^{L-1}{p}_i=w_0+w_1=1\text{\hspace{1em}(2)}$$

其中，$w_0$ 与 $w_1$ 可表示为 零阶矩 的形式：
$$w_0=Pr(C_0)=\sum _{i=0}^{k-1}{p}_i=w(k)\text{\hspace{1em}(3)}$$

$$w_1=Pr(C_1)=\sum _{i=k}^{L-1}{p}_i=1-w(k)\text{\hspace{1em}(4)}$$

类 $C_0$ 与 类 $C_1$ 发生的 期望 （或均值）可表示为 一阶矩 的形式：
$${\mu }_0=\sum _{i=0}^{k-1}iPr(i|C_0)=\sum _{i=0}^{k-1}i\frac{p_i}{w_0}=\frac{1}{w_0}\sum _{i=0}^{k-1}i{p}_i=\frac{\mu (k)}{w(k)}\text{\hspace{1em}(5)}$$

$${\mu }_1=\sum _{i=k}^{L-1}iPr(i|C_1)=\sum _{i=k}^{L-1}i\frac{p_i}{w_1}=\frac{1}{w_1}\sum _{i=k}^{L-1}i{p}_i=\frac{{\mu }_T-\mu (k)}{1-w(k)}\text{\hspace{1em}(5)}$$

其中：
$$\mu (k)=\sum _{i=0}^{k-1}i{p}_i,{\mu }_T=\sum _{i=0}^{L-1}i{p}_i\text{\hspace{1em}(6)}$$

显然，有：
$${\mu }_0{w}_0+{\mu }_1{w}_1={\mu }_T\text{\hspace{1em}(7)}$$

类 $C_0$ 与 类 $C_1$ 发生的 方差 可以表示为 二阶矩 的形式：
$${\sigma }_0^2=\sum _{i=0}^{k-1}(i-{\mu }_0{)}^{2}Pr(i|C_0)=\sum _{i=0}^{k-1}(i-{\mu }_0{)}^2\frac{p_i}{w_0}\text{\hspace{1em}(8)}$$

$${\sigma }_1^2=\sum _{i=k}^{L-1}(i-{\mu }_1{)}^{2}Pr(i|C_1)=\sum _{i=k}^{L-1}(i-{\mu }_1{)}^2\frac{p_i}{w_1}\text{\hspace{1em}(9)}$$

为了评估所选阈值 $k$ 的 优良（goodness），引入以下三种 判别标准度量：
$$\lambda =\frac{{\sigma }_B^2}{{\sigma }_W^2},\kappa =\frac{{\sigma }_T^2}{{\sigma }_W^2},\eta =\frac{{\sigma }_B^{2]}}{{\sigma }_T^2}\text{\hspace{1em}(10)}$$

其中：
（1）类内方差（within-class variance，简记为 ${\sigma }_{with}^2$ 或 ${\sigma }_W^2$）满足：
$${\sigma }_W^2=w_0{\sigma }_0^2+w_1{\sigma }_1^2\text{\hspace{1em}(11)}$$

（2）类间方差（between-class variance，简记为 ${\sigma }_{Between}^2$ 或 ${\sigma }_B^2$）满足：
$${\sigma }_B^2=w_0({\mu }_0-{\mu }_T{)}^2+w_1({\mu }_1-{\mu }_T{)}^2=w_0{w}_1({\mu }_1-{\mu }_0{)}^2\text{\hspace{1em}(12)}$$

（3）全局方差（total variance，简记为 ${\sigma }_{Total}^2$ 或 ${\sigma }_T^2$）满足：
$${\sigma }_T^2=\sum _{i=0}^{L-1}(i-{\mu }_T{)}^2{p}_i\text{\hspace{1em}(13)}$$

合适的阈值会将图像分割为两类。反过来就是说，能在灰度水平上实现最佳分离的阈值将是最合适的阈值。

因此，利用引入的判别标准度量，可以将问题转化为一个优化问题：寻找一个合适的阈值 $k$ 最大化某一个判别标准度量函数（$\lambda$，$\kappa$ 以及 $\eta$ 中的某一个）。

那么选择哪一个判别标准度量最为合适呢？

实际上，最大化判别标准 $\lambda$，$\kappa$ 以及 $\eta$ 是相互等价的。
因为，以 $\lambda$ 为单位可以分别表示 $\kappa$ 以及 $\eta$：
$$\kappa =\lambda +1,\eta =\frac{\lambda }{\lambda +1}\text{\hspace{1em}(14)}$$

并且以下基本关系式始终成立：
$${\sigma }_W^2+{\sigma }_B^2={\sigma }_T^2\text{\hspace{1em}(15)}$$

也就是说，当三个判别标准度量中的任意一个达到最大时，另外两个都会达到最大值。其中：

• ${\sigma }_W^2$ 和 ${\sigma }_B^2$ 均是阈值 $k$ 的函数；
• ${\sigma }_T^2$ 与阈值 $k$ 无关；
• ${\sigma }_W$ 需要计算二阶矩，而 ${\sigma }_B^2$ 仅仅需要计算一阶矩。

所以，$\eta$ 是关于阈值 $k$ 的最简单的判别标准度量。

因此，使用 $\eta$ 作为评估阈值 $k$ 优良 的判别标准。

现在，求解最大化判别标准 $\eta$ 时的最佳阈值 $k^{\ast }$。 分析 $\eta =\frac{{\sigma }_B^2}{{\sigma }_T^2}$ 可知，最大化 $\eta$ 即最大化 ${\sigma }_B^2$。即：
$$\eta (k)=\frac{{\sigma }_B^2(k)}{{\sigma }_T^2}\text{\hspace{1em}(16)}$$

并且有：
$${\sigma }_B^2(k)=\frac{{\left[{\mu }_{T}w(k)-\mu (k)\right]}^2}{w(k)\left[1-w(k)\right]}\text{\hspace{1em}(17)}$$

最优阈值 $k^{\ast }$ 可以表示为：
$$k^{\ast }=\arg \underset{1\le k\le L-1}{\max }{\sigma }_B^2(k)\text{\hspace{1em}(18)}$$

其中，阈值 $k$ 的搜索范围可以表示为：
$$S^{\ast }=\{k|w_0{w}_1=w(k)\left[1-w(k)\right]>0,or0<w(k)<1\}\text{\hspace{1em}(19)}$$
该范围称为灰度直方图的有效范围。

从公式（12）中
$${\sigma }_B^2=w_0({\mu }_0-{\mu }_T{)}^2+w_1({\mu }_1-{\mu }_T{)}^2=w_0{w}_1({\mu }_1-{\mu }_0{)}^2$$
可以看出：

• 当选定的阈值 $k\in S-S^{\ast }=\{k|w(k)=0or1\}$ 时，判别标准度量 $\eta$ 取最小值 $0$。
• 当选定的阈值 $k\in S^{\ast }$ 时，判别标准度量 $\eta$ 取一个正的且有界的值。

因此，显而易见，判别标准的最大值始终存在。

2.2 算法分析

对于选定的阈值 $k^{\ast }$：
$$w_0^{\ast }=Pr(C_0^{\ast })=\sum _{i=0}^{k^{\ast }-1}{p}_i=w(k^{\ast })\text{\hspace{1em}(20)}$$

$$w_1^{\ast }=Pr(C_1^{\ast })=\sum _{i=k^{\ast }}^{L-1}{p}_i=1-w(k^{\ast })\text{\hspace{1em}(21)}$$

分别表示了灰度图像按照阈值 $k^{\ast }$ 所划分的两类的发生概率。

类 $C_0^{\ast }$ 与类 $C_1^{\ast }$ 发生的 期望 分别为：
$${\mu }_0^{\ast }=\sum _{i=0}^{k^{\ast }-1}iPr(i|C_0^{\ast })=\sum _{i=0}^{k^{\ast }-1}i\frac{pi}{w_0^{\ast }}=\frac{\mu (k^{\ast })}{w(k^{\ast })}\text{\hspace{1em}(22)}$$
$${\mu }_1^{\ast }=\sum _{i=k^{\ast }}^{L-1}iPr(i|C_1^{\ast })=\sum _{i=k^{\ast }}^{L-1}i\frac{p_i}{w_1^{\ast }}=\frac{{\mu }_T-\mu (k^{\ast })}{1-w(k^{\ast })}\text{\hspace{1em}(23)}$$

将判别标准 $\eta$ 的最大值 $\eta (k^{\ast })$ 简记为 ${\eta }^{\ast }$，可以用作评估灰度图像中类的可分性的标准。这是一个重要的度量，它在灰度尺度的放射变化（也就是说，对于任意的位移和扩张）下是不变的。

2.3 算法扩展

实际上，利用判别准则，可以直接将OTSU算法推广至 多阈值 的情形。例如：
在三阈值的情形下，可以选择两个阈值 $0\le k_1{k}_2\le 1$ 将原始灰度图像分化为三类。此时标准度量 $\eta$ 存在两个参数 $k_1$ 与 $k_2$，最佳阈值 $k_1^{\ast },k_2^{\ast }$ 可通过最大化 $\eta$：
$$(k_1^{\ast },k_2^{\ast })=\arg \underset{1\le k_1\le k_2\le L-1}{\max }{\sigma }_B^2(k_1,k_2)\text{\hspace{1em}(24)}$$

进行求解。

参考文献

[1] Ostu N , Nobuyuki O , Otsu N . A thresholding selection method from gray level histogram. 1979.