算法自学__ 莫队

参考资料：

• https://zhuanlan.zhihu.com/p/115243708

普通莫队

算法思想

莫队算法基于分块的思想，可以解决离线的区间查询问题，时间复杂度为 $O(n\sqrt{n})$ 。

一般来说，如果可以在 $O(1)$ 内从 $[l,r]$ 转移到 $[l+1,r]$ 、$[l,r-1]$ 、$[l-1,r]$ 、$[l,r+1]$ ，则可以考虑使用莫队。

莫队的基本步骤为：

• 先将 l 和 r 分别初始化为 1 和 0 。
• 然后将查询区间按照左端点的块号升序排序；如果左端点块号相同，若块号为奇数，则将右端点按照升序排序，否则将右端点按照降序排序。
• 遍历排序后的查询区间，每次将 l 和 r 暴力移动到区间的左右端点。

具体代码见例题。

例1 P1972 [SDOI2009] HH的项链

由于本题数据规模较大，故莫队只能拿部分分。但由于本题比较具有代表性，故选作莫队的例题。

题目大意

有一个长度为 $n$ 序列，有 $m$ 个询问，每次询问给出一个区间，问当前区间内有多少个不同的数。

思路

维护一个 cnt[] 数组，cnt[i] 表示当前区间中值为 i 的元素的个数；维护一个整数 sum ，表示当前区间中有多少不同的值。假设当前区间为 [l, r] ，如果我们从两端删除了一个数 i ，就令 cnt[i]-- ，如果有 cnt[i] == 0 则说明该区间少了一个值，于是令 sum-- ，代码如下：

// 消除位置 x 的元素的影响 
void del(int x){
	cnt[a[x]]--;
	if(!cnt[a[x]]) sum--;
}

从区间两端加数的过程类似：

// 将位置 x 的元素考虑进来 
void add(int x){
	if(!cnt[a[x]]) sum++;
	cnt[a[x]]++;
}

区间转移过程如下（先扩张，后收缩）：

for(int i=1;i<=m;i++){
		while(l > node[i].l){
			add(--l);
		}
		while(r < node[i].r){
			add(++r);
		}
		while(l < node[i].l){
			del(l++);
		}
		while(r > node[i].r){
			del(r--);
		}
		ans[node[i].num] = sum;
	}

例2 P1494 [国家集训队] 小 Z 的袜子

题目大意

有一个长度为 $n$ 序列，有 $m$ 个询问，每次询问给出一个区间，从区间内随机取两个数，这两个数相等的概率是多少，输出最简分数。

思路

本题思路和上一题的类似，故直接给出代码。

代码

#include
#define int long long
using namespace std;

const int maxn = 5e4+5;

int n, m, sq; 
int a[maxn];
int l = 1, r = 0;
int cnt[maxn];
int sum = 0;
int ans[maxn];
int len[maxn];

struct NODE{
	int num;
	int l, r;
	bool operator<(const NODE& x)const{
		int i1 = l/sq, j1 = x.l/sq;
		int i2 = r/sq, j2 = x.r/sq;
		if(i1 != j1){
			return i1 < j1;
		}
		else{
			if(i1&1){
				return i2 < j2;
			}
			else{
				return i2 > j2;
			}
		}
	}
};
NODE node[maxn];

inline int getC(int x){
	return x*(x-1)/2;
} 

void add(int x){
	sum -= getC(cnt[a[x]]);
	cnt[a[x]]++;
	sum += getC(cnt[a[x]]);
}

void del(int x){
	sum -= getC(cnt[a[x]]);
	cnt[a[x]]--;
	sum += getC(cnt[a[x]]);
}

signed main(){
	cin>>n>>m;
	sq = sqrt(n);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i];
	}
	for(int i=1;i<=m;i++){
		node[i].num = i;
		cin>>node[i].l>>node[i].r;
	}
	sort(node+1, node+1+m);
	for(int i=1;i<=m;i++){
		while(l>node[i].l){
			add(--l);
		}
		while(r<node[i].r){
			add(++r);
		}
		while(l<node[i].l){
			del(l++);
		}
		while(r>node[i].r){
			del(r--);
		}
		ans[node[i].num] = sum;
		len[node[i].num] = node[i].r-node[i].l+1;
	}
	for(int i=1;i<=m;i++){
		if(ans[i] == 0) cout<<"0/1";
		else{
			int tot = getC(len[i]);
			int g = __gcd(ans[i], tot);
			cout<<ans[i]/g<<'/'<<tot/g;
		}
		cout<<'\n';
	}	
	return 0;
}

例3 P8773 [蓝桥杯 2022 省 A] 选数异或

题目大意

给定一个长度为 $n$ 的数列 $A_1,A_2,\cdots ,A_n$ 和一个非负整数 $x$, 给定 $m$ 次查询, 每次询问能否从某个区间 $[l,r]$ 中选择两个数使得他们的异或等于 $x$ 。

思路

首先，若 a^b = x ，则有 a^x = b 。此时，问题转化成了：对区间内的每个元素 a[i] ，区间内是否存在值为 a[i]^x 的其他元素。

定义 cnt[i] 表示当前区间内值为 i 的元素的个数，定义 sum 表示当前区间异或值为 x 的元素对数。相关代码如下：

void add(int pos){
	cnt[a[pos]]++;
	sum += cnt[a[pos]^x];
}

void del(int pos){
	cnt[a[pos]]--;
	sum -= cnt[a[pos]^x];
}